En évaluant de deux façons difTérenles l'intégrale double
-»-co
/ e-^y sin ax dy dx,
f rfj7 = dz - > pourvu que a ne soit
pas nul.
8. Trouver l'aire de la portion d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde de révolution, comprise entre deux parallèles.
*9. Aire d'un ellipsoïde à trois axes inégaux. — La moitié de l'aire totale X est égale à l'intégrale double
étendue à l'intérieur de l'ellipse 6*j7>-4- a*^'= a'6'. Parmi les moyens employés pour ramener cette intégrale double à des intégrales elliptiques, un des plus simples, dû à Catalan, consiste dans la transformation du
n° 125. En désignant par v la fonction sous le signe / / , et faisant varier p
de 1 à + 9c, on trouve que l'intégrale double est égale à la limite, pour / infîni, de la différence
cette expression se présente sous forme indéterminée, mais on peut écrire
r- [[/EÏÏSEEÊ.]
et l'expression écrite plus haut a pour limite, comme on le voit aisément,
^rçi r^* d^
EXBRCICB8. 333
*10. Si du centre d*un ellipsoïde d'axes 2a, a 6, 2c, on abaisse des perpendiculaires sur les plans tangents à cet ellipsoïde, Taire de la surface
podaire est égale à Taire d'un ellipsoïde dont les demi-axes seraient — > ac ab
[William RobbrtS) Journal de Liouville, t. XI, 1" série, p. 81.] il. En évaluant de deux façons différentes Tintégrale double de
étendue à Taire du triangle formé par les droites ^ = a:©, ^ = x, a: = X, démontrer que Ton a
En déduire la relation
j dxj dx , . . J f(x) dx =^ ^-j^-^--^ j {x—yYf{y)dy, Établir de même la formule
f xdx I xdx,,, j xdx I /{x)dx
et vérifier ces formules au moyen de la différentiation sous le signe / .
