L — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

143. Intégrales triples. — Soit F{x,y^ z) une fonction continue lorsque le point M de coordonnées rectangulaires (^, y^ z) reste dans une portion finie de l'espace (E), limitée par une ou plusieurs surfaces fermées. Imaginons cette portion de l'espace décomposée en portions plus petites (c'i), (^2)? ••• {^n)y de volumes (^i, ^2? • • • ^nt et soient (Ç/, 7)/, Ç/) les coordonnées d'un point quelconque mi de la région (e,). La somme

(I) ^^i.h, r^i, Ki)^i

tend vers une limite lorsque le nombre des régions (e,) augmente indéfiniment, de façon que les dimensions de chacune d'elles tendent vers zéro. Cette limite est l'intégrale triple de la fonction F(^, y^ -s), étendue à la portion (E) de l'espace, et on la représente par la notation

(2) / / / ^{^^yy ^)dxdydz.

Nous n'aurions, pour démontrer l'existence de cette limite, qu'à répéter ce qui a été dit à propos des intégrales doubles. Les intégrales triples se présentent dans diverses questions de Mécanique, en particulier quand on cherche la masse ou le centre de gravité d'un corps solide. Supposons la région (E) remplie d'une substance hétérogène et soit ^{^x^y^ z) la densité en un point, c'està-dire la limite du rapport de la masse renfermée dans une sphère