I. — INTEGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

de rayon infiniment petit, décrite du point {x, y, z) comme centre, an volume de cette sphère. Si [jL| et [jl^ sont Jes valeurs maximum et minimum de [x dans la région (^i), il est clair que la masse renfermée dans cette région est comprise entre [jl^ i^i* et jjLai^i; elle est donc égale à p,F(Ç/, ti,-, Ç,), le point (Ç,-, 7|/, ^,) étant un point convenablement choisi de (^/). La masse totale est

donc égale à l'intégrale triple j j 1 i^dx dy dz, prise dans la

région (E).

Le calcul d'une intégrale triple se ramène au calcul de trois intégrales simples successivement. Supposons d'abord que la région (E) soit un parallélépipède reclangle limité par les six plans x = Xo^ a: = X, y=iy^^ j^ = Y, z = z^^ z = Z. Nous décomposerons (E) en petits parallélépipèdes par des plans parallèles aux trois plans de coordonnées. Le volume de l'un d'eux a pour expression (x,- — Xi^x){yk — yh-\){zi — w/^i), et nous avons à chercher la limite de la somme

où le point (Çia/, tim/, Cm/) est un point quelconque du petit parallélépipède correspondant. Évaluons d'abord la portion de S qui provient de la file d'éléments compris entre les quatre plans

x = Xi-u x = Ti, y=yk-u y—yk,

et prenons tous les points (Ç/a/, t^iA/, Ç/a/) sur la droite :r = a:i i, y=:yj^^. Cette file de parallélépipèdes donne une somme

{,xi — xi^x){yk—yk-'\)\.^{.xi-x,yk'-u Cî)(«i — -so)-»-...]»

et nous pouvons comme plus haut (n® 123) choisir les Ç de façon que la somme entre parenthèses soit égale à l'intégrale simple

Nous n'avons plus alors qu'à chercher la limite de la somme

^^{^i — ict^\){yk— yk-\)^{xi-x, yk^i),

limite qui est précisément Tintégrale double

j j ^{x,y)dxdy,

étendue au rectangle formé par les droites x=:Xo, a: = X, yz=yQ^y = Y. L'intégrale triple est donc égale à

y)dy^

ou, en remplaçant ^{x^y) par sa valeur, à

(4) f dx f dy f ¥{x,y, z)dz,

*^JPo ^O'o *^s.

Le sens de ce symbole est bien clair. On effectue la première intégration en regardant x el y comme constants; le résultat est une fonction des deux variables x et y, que Ton intègre ensuite entre les limites^© et Y, en regardant x comme constant ely comme variable. Le résultat de cette seconde intégration ne dépend plus que de x, et on l'intègre de nouveau entre les limites x^ et X.

Il y a évidemment autant de manières d'effectuer le calcul qu'il y a de permutations de 3 lettres, c'est-à-dire 6. On peut, par exemple, écrire l'intégrale triple

\ dz f dx f F(Xyy, z)dy= f ^\z)dz,

en désignant par ^{z) l'intégrale double de Y {x^y, z) étendue au rectangle formé par les droites x = Xq^ o: = X, j' =zy^^y=i Y. On serait encore conduit à celte expression en commençant par évaluer la portion de la somme S provenant de la tranche de parallélépipèdes comprise entre les deux plans voisins z = 5/,, z = Zi; en prenant convenablement les points (^,71, 2^), cette tranche donne, dans S, la somme

et le raisonnement s'achève comme plus haut.

144. Considérons maintenant une région de l'espace limitée d'une façon quelconque; on commence par la décomposer en régions telles qu'une droite parallèle à une direction fixe conve-