I. — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

nablement choisie ne rencontre la surface limite qu'en deux points. Nous nous bornerons au cas d^un volume limité par une surface qu'une parallèle à O^ ne peut rencontrer en plus de deux points. Les points de cette surface se projettent sur le plan xOy à Tintérieur d'une aire A limitée par un contour fermé C, et à tout point (Xy y) de A correspondent deux points de la surface limitante, de coordonnées Zt = cpi (x^ y) et z^ = ?a(^) ^)- Les fonctions cpi et cpa sont continues à l'intérieur du contour C, et nous

Fig 33

supposerons cpi -< «pj. On décompose encore le volume considéré par des plans parallèles aux plans de coordonnées, mais il y a ici des parties irrégulières qui sont des portions de parallélépipèdes. La somme des éléments provenant de la file comprise entre les 4 plans X = Xi i^x = Xi^y =yk-ijy ^^yn^ encore pour expression (n« 124)

la valeur absolue de e/A étant moindre que tout nombre donné à l'avance e pourvu que la distance des plans parallèles voisins soit

suffisamment petite. La somme ^.^.^îki^î — Xi i)(yk — yk-i)

a zéro pour limite, et l'intégrale triple cherchée est égale à l'inté-

grale double

étendue à la région (A) limitée par le contour C, de la fonction ^(x, y) des variables Xy y y

^{^>y) = f F{x,yyZ)dz,

Si une parallèle à l'axe Oy ne rencontre le contour C qu'en deux points de coordonnées j^i = tj/| (;r), jk2 = ^2(^)) lorsque x varie de a?! à ^2, r intégrale triple a aussi pour valeur

't /%Xi

dx j dy j Y{x,y, z)dz.

Les limites Z\ et z^ dépendent à la fois de x et de y, les limites^, et ^2 de X seulement et enfin les limites x^ et x^ sont des constantes.

On peut encore intervertir l'ordre des intégrations, mais les limites sont en général tout à fait différentes, suivant l'ordre dans lequel les intégrations sont effectuées.

Remarque. — L'intégrale double

Wix)== f dy f *F{x,y, z)dz

est étendue à la section faite dans le volume considéré par le plan d'abscisse x^ parallèle à :r r= o, et la formule (5) peut s'écrire

f W(x)dx.

C'est encore le résultat que l'on obtiendrait en évaluant d'abord la somme des éléments provenant de la tranche comprise entre les deux plans x = Xi i , x = Xi. En prenant convenablement les points (Ç, 7i, t^), cette tranche donne pour somme le produit

Exemple. — Soit à évaluer l'intégrale triple / / j zdx dydz, étendue