I. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE

i. Liimites. — Lorsque les valeurs successives d^une variable x se rapprochent de plus en plus d^une quantité constante a, de façon que la valeur absolue de la diOerence x — a finisse par devenir et rester plus petite que tout nombre donné à Tavance, OQ dit que la variable x a pour limite la constante a. Cette définition nous donne un critérium permettant de reconnaître si a est la limite de la variable x\ pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'étant donné un nombre positif e, aussi petit qu'on le voudra, il arrive un moment à partir duquel la valeur absolue de j? — a reste constamment inférieure à €, pour toutes les valeurs que la variable x est susceptible d'acquérir.

De nombreux exemples de limites sont fournis par la Géométrie et l'Algèbre. Par exemple, la quantité variable x = — ^^- — a

pour limite a a lorsque m tend vers a, car il suffit que la valeur absolue de m — a soit inférieure à e pour que la valeur absolue de j: — 2a soit elle-même plus petite que s. De même la variable

x = a > où n est un nombre entier positif, a pour limite a

lorsque ce nombre n augmente indéfiniment, car il suffit que n G. I

soit supérieur à - pour que a — x soit inférieur à e. On voit, par

ces exemples, que les valeurs successives de la variable x tendant vers sa limite peuvent former une suite continue ou une suite discontinue.

Il est, en général, très difficile de trouver la limite d'une quantité variable. La proposition suivante, que nous admettrons comme évidente, permet, dans bien des cas, d^affirmer Texistence d'une limite :

Toute quantité variable^ qui rCest jamais décroissante et qui reste inférieure à une quantité constante L, tend vers une limite /, inférieure ou au plus égale à L.

De même, toute quantité variable^ qui n'est jamais croissanté et qui reste supérieure à une quantité constante L', tend vers une limite V , supérieure ou au moins égale à L'.

Par exemple, si une série à termes positifs a ses termes plus petits respectivement que les termes correspondants d'une autre série convergente, à termes positifs, on peut affirmer que la première série est également convergente, car la somme S„ des n premiers termes augmente évidemment avec l'indice n et cette somme est toujours plus petite que la somme S de la seconde série.

2. Fonctions. — Lorsque deux quantités variables sont liées de telle façon que la valeur de l'une dépend de la valeur de l'autre, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre. L'une d'elles étant considérée comme variant arbitrairement, on l'appelle la variable indépendante. Soit^ cette variable qui pourra prendre, par exemple, toutes les valeurs comprises entre deux nombres donnés a et b{a<Cb). Désignons par y une autre variable telle que, à toute valeur de x compiise entre a et b corresponde une valeur bien déterminée de y^ ainsi qu'aux valeurs limites aet b; on dit que^ est une fonction définie de x dans l'intervalle (a, 6), et l'on indique cette dépendance par l' égalité y =/'(^). Par exemple, il peut se faire que la valeur de y soit le résultat de certaines opérations arithmétiques effectuées sur la valeur de x\ tel est le cas des fonctions les plus simples que l'on étudie dans les éléments, comme les polynômes, les fonctions rationnelles, les radicaux, etc. Une fonction peut aussi être définie graphiquement. Etant donnés,

!• — FONCTIONS d'uNE VARIABLE. 3

dans un plan, deux axes de coordonnées Ox, Oy^ si l'on joint deux points A et B de ce plan par un arc de courbe ACB de forme arbitraire, tel qu'une parallèle à l'axe Oy ne puisse rencontrer cet arc de courbe en plus d'un point, l'ordonnée d'un point de cette courbe sera une fonction de l'abscisse. Cet arc de courbe ACB peut d'ailleurs se composer de plusieurs portions distinctes appartenant à des courbes différentes, telles que des portions de droite, des arcs de cercle, etc. Bref, on pourrait se donner une loi absolument arbitraire pour déduire la valeur de y de celle de x. Le mol de /onction, pris dans son acceptjjXP la plus large, ne signifie pas autre chose que ceci : à une valeur de x correspond une valeur de^.

3. Continuité. — La définition des fonctions auxquelles s'applique le calcul infinitésimal nej^omporJLp pas une aussi grande indétermination. Soit y=/{x) une fonction définie dans l'intervalle (a, b); prenons une valeur Xo comprise dans cet intervalle et une valeur voisine Xq-^ h comprise dans le même intervalle. Si la différence /{xq-\- h) — /(^o) tend vers zéro, lorsque la valeur absolue de h tend vers zéro, la fonction /(x) sera dite continue pour la valeur Xq, D'après la définition même de la limite, on peut dire encore q\i^ une fonction /{x) est continue pour x = Xq si à tout nombre positif e^ aussi petit qu^on le suppose, on peut faire correspondre un autre nombre positif tj tel que Von ait

|/(aro-4-A)— /(a?o)|<e,

pour toute valeur de h moindre que r\ en valeur absolue (*). Nous dirons qu'une fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) si elle est continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle et si les différences

tendent vers zéro lorsque la différence h tend vers zéro en restant positive.

On démontre dans tous les Cours d'Algèbre que les polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction exponentielle, la fonction

(*) Le symbole \a\ désigne la valeur absolue de a.

4 CHAPITRE I. — DÉRIVËIilS ET DIFFÉRENTIELLES.

logarithmique, les fondions trigonomélriqiies et les fonctions inverses sont des fonctions continues, sauf pour certaines valeurs particulières de la variable. Il résulte aussi de la définition que la somme ou le produit d'un nombre quelconque de fonctions continues est encore une fonction continue; il en est de même du quotient de deux fonctions continues, sauf pour les valeurs de la variable qui annulent le dénominateur.

Il me paraît superflu d'expliquer ici pour quelles raisons nous sommes conduits à admettre que les fonctions définies phj'siquement sont continues, au moins en général.

Parmi les propriétés des fonctions continues, nous citerons dès maintenant les deux suivantes, que Ton serait tenté de considérer comme évidentes, mais qui constituent de véritables théorèmes dont on trouvera plus loin une démonstration rigoureuse (*).

I. Soit y =^f{x) une fonction continue dans V intervalle (a, h) et N un nombre compris entre f {a) et f{b) ; l^ équation f{x) = N a au moins une racine comprise entre a et b.

II. Il existe au moins une valeur de x appartenant à Vintervalle (a, b) {y compris a et b) pour laquelle y prend une valeur M supérieure ou au moins égale à toute autre valeur de la fonction dans le même intervalle. Il existe de même une valeur de x pour laquelle y prend une valeur m inférieure ou au plus égale à toute autre valeur de la fonction dans le même intervalle.

Les nombres M et m sont les valeurs maximum et minimum

àe f{x) dans Tintervalle (a, b). Il est clair que la valeur de x pour

laquelle f{x) prend sa valeur maximum M peut se confondre avec

( l'une des limites a ou b, et il(en>est de même de la valeur de x

^' -qui corrcspoTîcrauminimum. De la combinaison des propositions

précédentes on déduit immédiatement que l'équation f{x) = N, où N est un nombre compris entre M et /w, admet au moins une racine comprise entre a et 6.

4. Exemples de discontinuité. — Les fonctions que nous étu- (M Koir Chapitre IV.