I. — FONCTIONS d'une VARIABLE

(lierons sont en général continues, mais elles peuvent cesser de Tèlre pour certaines valeurs exceptionnelles de la variable. Voici quelques exemples des discontinuités que Ton rencontre le plus fréquemment.

La fonction y = est continue pour toute valeur x^ de x^

différente de a. L'opération qu'il faut effectuer pour déduire la valeur dey de la valeur de x n'a plus aucun sens lorsqu'on donne à j? la valeur a; mais nous remarquons que lorsque x a une valeur très voisine de a^y est très grand en valeur absolue et positif ou négatif, suivant que x est plus grand ou plus petit que a. Lorsque la différence x — a diminue de plus en plus, la valeur absolue de j/* augmente indéfiniment, de façon à devenir supérieure à tout nombre donné à J'avance. On exprime ce fait d'une façon abrégée

en disant que la fonction est infinie pour x=^ a. C'est un

genre de discontinuité d'une grande importance en Analyse.

Prenons encore la fonction jk = sin-* Lorsque x tend vers zéro, - augmente indéfiniment et y ne tend vers aucune limite, tout en

restant compris entre — i et + i ; l'équation sin- = A, où l'on

suppose I A| <^ 1, admet toujours une infinité de racines comprises entre o et e, aussi petit que soit e. Quelle que soit la valeur que Ton convienne de prendre pour y lorsqu'on suppose x = o^ la fonction considérée ne peut être continue pour a: = o.

Un exemple de discontinuité d'une autre nature nous est fourni par la somme de la série convergente

Lorsque j?=o, tous les termes de la série étant nuls, on aS(o)=:o. Si l'on donne à x une valeur différente de zéro, on a une progression géométrique décroissante, dont la raison est -\ on a donc

S(a7) = ; — = — î^— = 1 -+- ar«.

Lorsque x tend vers zéro, S{x) a pour limite l'unité, tandis que

l'on a S(o)=:o. A.insi, dans ce cas, la fonction tend bien vers une limite lorsque x tend vers zéro, mais cette limite est différente de la valeur que prend cette fonction pour ^ mo.

5. Dérivées. — Soit /(^) une fonction continue; les deux termes du rapport

tendent vers zéro simultanément lorsque, x restant fixe, la valeur absolue de h diminue indéfiniment. Si ce rapport tend vers une limite, on dit que celte limite est la dérivée de la fonction f{x), et on la représente par^' ou/' ( j;), suivant la notation de Lagrange. A la notion analytique de la dérivée se rattache une notion géométrique importante. So\i y =.f[x) une fonction continue dans un intervalle (a, 6); considérons dans un plan le point de coordonnées (x,y). Lorsque x varie de a à 6, ce point décrit un arc de courbe AMB, qui représente graphiquement la marche de la fonction y(:r) dans l'intervalle (a, b). Soient M et M' deux points voisins de cet arc de courbe, d'abscisses ^ et :r + h. Le coefficient angulaire de la. droite MM' est égal à

lorsque h tend vers zéro, le point M' se rapproche indéfiniment du point M et, si la fonction /{x) admet une dérivée, le coefficient angulaire de la droite MM' tend vers la limite jk'« La droite MM' tend donc vers une position limite MT, qu'on appelle la tangente à la courbe; l'équation de cette tangente est, d'après ce qui précède,

X et Y étant les coordonnées courantes.

Plus généralement, considérons une courbe quelconque dans l'espace et soient

les expressions des coordonnées d'un point de celle courbe en fonction d'un paramètre variable t. Prenons sur cette courbe deux points M, M' correspondant aux deux valeurs ^ et t -^ h du para-