L — FONCTIONS IMPLICITES

20. Étude d'un cas particulier. — 11 arrive souvent que Ton a à étudier des fonctions dont on ne possède pas Tex^pression explicite, mais qui sont définies par des équations non résolues. Considérons, par exemple, une relation entre trois variables

cette équation définit, sous certaines conditions que nous allons préciser, une fonction des deux variables indépendantes x, y. JNous démontrerons pour cela le théorème suivant :

Soient x=zXq^ y^zy^^ z=-- Zo un système de solutions de V équation (i), tel que la fonction F et ses dérivées partielles du premier ordre soient continues dans le voisinage de ce système de valeurs. Si la dérivée F^ n^est pas nulle pour x=^Xq^ y^=yQ^ z=zZo'i il existe une fonction continue des variables indépendantes x, y^ et une seule, satisfaisant à l'équation (i), et prenant la valeur Zq^ lorsque x et y prennent respectivement les valeurs Xq ety^.

La dérivée F!, n^étant pas nulle pour les valeurs Xq^ yo^t ^o» supposons, pour fixer les idées, qu'elle soit positive. D'autre part, les fonctions F, F^, F^, F^ élant continues dans le voisinage de ce système de valeurs, choisissons* un nombre / positif assez petit pour que les quatre fonctions F, F!^, F' , F^ soient continues tant que les valeurs de x, y^ z satisfont aux inégalités

(1) lor-aroU/, \y-yo\%:l. i-5-^oU t^

et que Ton aîl, pour ces systèmes de valeurs de x^y, z.

Pétant un nombre positif, d'ailleurs quelconque; nous désignerons de même par Q un autre nombre positif, supérieur aux valeurs absolues des deux autres dérivées partielles F'j. et F^. dans le même domaine.

Cela posé, donnons k x^ y^ z des valeurs satisfaisant aux inégalités (2). On peut écrire

ou, en appliquant à chacune des différences la formule des accroissements finis, et observant que F(xo, yoi ^o) = o,

F(x,y, z)= (x — Xo)F'jc[xo-^^(x — Xo),y, z]

-^(y'~yo)F'y\xo,yo-^^'(y-yo), -J

-+-(5 — ^o)F'. [jTo, Jo, -o-^-O'C^ — -So)]; la fonction F(jc,y, z) est donc de la forme

les valeurs absolues des fonctions A (a:, y^ z)^ 1^*^? X'» ^)y C(jr,y, z) satisfaisant aux inégalités

|A|<Q, |Bi<0, |G|>P,

lorsque les valeurs attribuées aux variables x, y^ z satisfont aux inégalités (2). Soient maintenant s un nombre positif inférieur à /,

et r^ le plus petit des deux nombres / et —.''-• Supposons que

dans Téquation (i) on attribue aux variables ;r et ^ des valeurs déterminées vérifiant les conditions

et qu'on veuille obtenir le nombre des racines de cette équation, où z est regardée comme l'inconnue, comprises entre Zq — s et ZQ+t. Dans l'expression (3) de F{x,y, z)^ la somme des deux premiers termes est toujours moindre en valeur absolue que 2Q7i, tandis que la valeur absolue du dernier terme est supérieure à Pe, quand on y remplace z par ^0 — £• D'après la façon dont on a

choisi 7|, c'esl dooc le dernier terme qui donne son signe; on a, par conséquent, F(:r, y^ Zq — s) <C o et F(:r, jj ^o-f- s) > o^ et Ton en conclut que Téquation (i) a au moins une racine comprise entre -^o — e et Zo"[-£» Cette racine est d'ailleurs unique, puisque la dérivée F!, reste positive lorsque z varie de Zq — £ à Zo-i- s. Nous arrivons donc à cette conclusion que Péquation (i) a une racine et une seule qui tend vers ^o lorsque x et y tendent vers les valeurs Xq et y© respectivement.

Voyons pour quels systèmes de valeurs des variables j? ct^ la racine dont nous venons de démontrer l'existence se trouve bien

définie. Soit h le plus petit des deux nombres / et - -; le raisonnement qui précède nous prouve que si les valeurs des variables x

et y satisfont aux inégalités ]x — Xq\ <C A, \y — yo\ < /*î l'équation (i) aura une racine et une seule comprise entre ^o — ' el 3o 1- /. Appelons R le carré ayant pour centre le point Mo(^oi J'o) et ses côtés parallèles aux axes de coordonnées, la longueur de chaque côté étant égale à 2A; tant que le point {x^y) est à l'intérieur de ce domaine, l'équation (1) détermine une fonction bien définie des deux variables x et j', qui reste comprise entre Zq — l et Zo-r- 1» Cette fonction est continue au point Mq d'après ce que nous venons de voir; il en est de même en un autre point quelconque Ml du domaine R, car, en vertu des hypothèses qui ont été faites sur la fonction F et ses dérivées, la dérivée F^ [x^ ^ y^y 5|) sera encore positive au point Mi, puisqu'on aura \Xi — Xo\ <1 /, \yi — yo\ -< /, j-3| — Zo\ <Z /. On se trouvera donc dans les mêmes conditions au point M| qu'au point Mo, et, par suite, la racine considérée est encore continue pour x = Xt, r --y\ .

La racine précédente n'étant définie qu'à Fin teneur du domaine R, nous n'avons ainsi qu'un élément de fonction implicite. Pour définir celte fonction en dehors du domaine R, on procède (le proche en proche de la façon suivante. Soit L un chemin continu parlant du point (xo^j^o) ^^ aboutissant à un point (X, Y) siiué en dehors du domaine R. Imaginons que les variables x eiy varient simultanément de telle façon que le point de coordonnées (x^y) décrive le chemin L. Si Ton part du point (^o>^o) avec la valeur Zq pour z, on a une valeur bien déterminée pour celte racine, tant qu'on n'est pas sorti du domaine R. Soient M| (iCi, J^i) un point de ce chemin intérieur à R, et Zi la valeur correspondante de z] les conditions du théorème général se trouvant encore vérifiées pour x =^ Xty y =yt, z = Zij il existe un autre domaine R|, ayant pour centre le point M|, à l'intérieur duquel la racine qui se réduit à^i pour j; = 0:1,^=^1, est définie. Ce nouveau domaine R| aura en général des points extérieurs à R; en prenant de nouveau sur le chemin L un autre point M2, extérieur à R et intérieur à R|, on pourra recommencer la même construction pour obtenir un nouveau domaine R2, à l'intérieur iiuquel la racine de Téqualion (i) sera bien déterminée, et ainsi de suite. On pourra continuer l'opération, tant qu'on n'arrivera pas à un système de valeurs pour x, y, 5, pour lequel F^= o. Je me contenterai ici de ces indications; nous aurons à traiter en détail dans d'autres Chapitres des questions analogues.

21. Dérivées des fonctions implicites. — Revenons au domaine R et à la racine z = 'ii^jy) de l'équation (1), qui est une fonction continue des deux variables x et y dans ce domaine. (^ite fonction admet des dérivées partielles du premier ordre. En effet, laissons y constant et attribuons à ^ un accroissement àx qui donne à :; un accroissement A3; nous avons, d'après un calcul déjà fait,

F(x -r- Ax, y^z-h^z) — V{Xy y, z)

- lxF'jc(op-h(i\x, y, z-\- ^z}-.-lzF'.(j', y, z ~ d' Iz) — o.

On en tire

A- ^ __ ¥'^(x-^b\x, y^ H- A3), Ai- " "V'-Sx^y, c--0'A3) '

lorsque Ax tend vers zéro, il en est de même de Az, puisque z est une fonction continue de x. Le second membre tend donc vers une limite, et z admet une dérivée partielle par rapport à x

àz ^^

on démontrerait de même la formule

àz ^V 0} - FÎ

Remarque. — Si l'équation F = o est de degré m par rapport à s, elle définit m fonctions des variables x et y. Les dérivées

partielles -r-, ~ admettent elles-mêmes m valeurs' pour chaque

système de valeurs des variables x et j'; les formules précédentes donnent sans ambiguïté ces dérivées partielles, pourvu que l'on remplace z dans les seconds membres par la valeur de la fonction dont on cherche la dérivée.

Par exemple, l'équation

définit deux fonctions +\/i — x- — y- et — \J\ — x^-^y'^, qui sont continues tant que l'on a x^ '^y^<i i . Les dérivées partielles de la première sont

yi — X* — y' ^^ i - X* — j^^

et les dérivées partielles de la seconde s'obtiendront en changeant les signes. On obtiendrait les mêmes valeurs en partant des formiiles

ôz X àz jy

âx z àv z

et y remplaçant z successivement par ses deux déterminations.

22. Application aux surfaces. — Si l'on regarde x^ y^ z comme les coordonnées cartésiennes d'un point dans l'espace, toute équation