I. — PONCTIONS IMPLICITES

représente une surface S. Soient (xqj yoi ^o) les coordonnées d'un point  de celte surface; si la fonction F est continue, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre dans le voisinage des valeurs Xo^yot ^o? sans que ces trois dérivées soient nulles simultanément au point A, la surface S admet un plan tangent en Â. Supposons, par exemple, que la dérivée partielle F^ ne soit pas nulle pour x = Xo, y = J^o> ^ = Zq. D'après le théorème général, l'équation de la surface peut aussi s'écrire, dans le voisinage du point A, en la supposant résolue par rapport à Zj

?('^> y) étant une fonction continue, et l'équation du plan tangent en A est

remplaçons — et -y^ pa** leurs valeurs tirées des formules précédentes : l'équation du plan tangent devient

bi ion avait [•^i =0j et ( — I ^z^o, on considérerait^ et z

comme les variables indépendantes et x comme une fonction de ces variables; on arriverait encore à la même équation (5) pour le plan tangent, ce qui est évident a priori d'après la symétrie du premier membre. On verrait de même que la tangente en un point (jToi yo) d'une courbe plane représentée par F(a:, j^) = o a pour équation

Si l'on a à la fois

/dV\ /dV\ /d¥\

le point A est un point singulier; les tangentes aux diverses courbes situées sur la surface et passant par A forment en général un cône et non un plan. Ce cas sera étudié plus loin (Chap. III). Dans la démonstration du théorème général sur les fonctions implicites, nous avons supposé que la dérivée Fl^ n'était pas nulle.

L'inlultion géométrique fait bien comprendre pourquoi cette condition est essentielle. Si, en effet, ona(-T-J z=^o et ( — ) 7^0,

le plan tangent à la surface S est parallèle à Taxe des .3; une parallèle à Taxe des z voisine de la droite .r = a7o,^=yo rencontre généralement la surface en deux points voisins du point de contact. L'équation (4) admet donc deux racines tendant vers Zo lorsque ^ et^ tendent vers x^ et^o respectivement.

Par exemple, si Ton coupe la sphère x^-^y^-h z- — 1 ^=3 o par la droite yz=Oj x = i -\- t^ il y a deux valeurs de z tendant vers zéro en même temps que s, réelles si e est négatif et imaginaires si £ est positif.

23. Dérivées successives. — Dans les formules qui donnent les dérivées du premier ordre

on peut considérer les seconds membres comme des fonctions composées, z étant une fonction intermédiaire. On pourrait donc calculer les dérivées successives de proche en proche en appliquant la règle de différentiation des fonctions composées. L'existence de ces dérivées successives est d'ailleurs subordonnée à l'existence des dérivées partielles des différents ordres de la fonction F(j7, j^, z).

On obtient ces dérivées d'une façon plus simple en appliquant la proposition suivante : Lorsque plusieurs fonctions d^une variable indépendante vérifient une relation F ^^ o, leurs dérivées vérifient la relation obtenue en égalant à zéro la dérii^ée du premier membre, prise par la règle de différenttiation des Jonctions composées. Il est clair, en effet, que, si la fonction F se réduit identiquement à zéro quand on y a remplacé les variables dont elle dépend par des fonctions de la variable indépendante, il en est de même de sa dérivée. Le théorème subsiste encore si les fonctions liées par la relation F = o dépendent de plusieurs variables indépendantes.

Cela posé, supposons d'abord que l'on veuille calculer les dérivées successives de la fonction implicite^ de la seule variable x définie par la relation

OQ en déduit successivement

dV ôV , — ,- - — r — o,

f^«F ()»F t;«F ,, ôV „

et l'on calculera ainsi de proche en proche i',>*^', y, ....

Exemple. — Étant donnée une fonction^ ~ fK^-)^ <^^ peut inversement considérer y comme la variable indépendante et x comme une fonction *\^ y défînie par l'équation y — f{x). Si la dérivée f'{x) n'est pas nulle pour la valeur Xq, qui donne ^o=/(^o)j il existe, d'après le théorème «général, une fonction et une seule de y qui satisfait à la relation y —f(x) et qui prend la valeur Xq pour^=^o; c'est ce qu'on appelle la fonction inverse de /{x). Pour calculer les dérivées successives Xy, Xy%, x"t, ... de cette fonction, il suffit de dîlTérentier plusieurs fois de suite, en considérant^ comme la variable indépendante, ce qui nous donne

Or-.f(x){x'y.y----f'{x)Xy^,

O ^f"(x){x'yY-^ir(x)x\.x;.^f{x)x"y,,

on en tire

Il est à remarquer que ce système de formules ne change pas quand on permute x'y et/'(x), Xy%el /'(x), Xy* et/"'(x)j . . ., car la relation entre les deux fonctions^ =f(x) et x = ^(y) est évidemment réciproque.

Pour donner une application de ces formules, supposons que l'on veuille obtenir toutes les fonctions j^ = f(x) qui satisfont à la relation

quand on prend y comme la variable indépendante, et x comme la fonction, cette équation devient

Xy» rr-z O.

Or, les seules fonctions dont la dérivée troisième soit nulle sont des polynômes, du second degré au plus. On aura donc, pour x, une expression

de la forme

X" G,7«-i- Gï^H-Ca,

Cl, G], G) étant trois constantes quelconques; en résolvant celte équation par rapport à y^ on en conclut que toutes les fonctions ^ =/(ar) qui satisfont à la condition proposée sont comprises dans la formule

a, b, c étant trois constantes arbitraires. Gette équation représente une parabole ayant son axe parallèle à Taxe des t.

24. Dérivées partielles. — Considérons maintenant une fonction implicite de deux variables définie par l'équation

les dérivées partielles du premier ordre sont données, comme nous Pavons déjà vu directement, par les relations

^^^ lii^ àz Ox~'^' Oy "^ Tz dy ~ "*' '

Pour avoir les dérivées partielles du second ordre, il suffit de diOerentier de nouveau les deux, équations (7) par rapport à j: et ky^ ce qui donne trois relations distinctes seulement, car la dérivée de la première par rapport ky est identique à la dérivée de la seconde par rapport à x^

Ô^F d^F dz d^F /dz\^ dF d^z

dx* Ox dz Ox ' dz* \dx/ dz dx^ '

. d^]^ d^F^ dz d*F Js d^ d^ dz dF d^z ' dx dy dx dz dy dy dz dx dz* dx dy dz dx dy *

d*F d*F dz

à\Ffàzy dF dTz

dy* dydz dy

et Ton calculerait de même les dérivées du troisième ordre et d'ordre plus élevé.

L'emploi des différentielles totales permet encore de déterminer en même temps toutes les dérivées partielles du même ordre. Il suffit pour cela de s'appuyer sur le théorème suivant : Lorsque plusieurs /onctions w, r, w, ... d'un nombre quelconque de variables indépendantes x^ y^ z, . . . vérifient une relation F = o, les différentielles totales satisfont à la relation d¥ = o, obtenue en prenant la différentielle totale de F comme si toutes les variables dont elle dépend étaient des variables indépendantes. Pour le démontrer, supposons qu'on

ait une relation F(tt, i^, w) = o, u, ç^ iv étant des fonctions des variables indépendantes x^ y, z, t. Les dérivées partielles de //, i^, IV satisfont aux quatre équations

dF du du dx

dv

dv dx

dF dw

dw ôx

dF

du

du

dF dv

dv

ày

dF dw-

dw

dF du du dz

dF dv

dv dz

dF dvi> dw dz

dF du du dl

dF dv

dv dt

dF dw dw dt

multiplions-les respectivement par dx, dy^ dz^ dt et ajoutons-les,

il vient

dF . dF . dF .

-T— du H dv -\- - - dw — dF = o.

du dv Ow

Nous voyons encore ici Favantage de la notation diiïérentielle, car la relation précédente est indépendante du choix et du nombre des variables indépendantes. Pour avoir une relation entre les différentielles du second ordre, il suffira d'appliquer le théorème général à la relation dF = o, considérée comme une équation entre li, i», w, du^ dv^ div, et ainsi de suite; on remplacera seulement par zéro toutes les différentielles d'ordre supérieur au premier des variables que Ton a choisies pour variables indépendantes.

Appliquons ceci au calcul des différentielles totales successives de la fonction implicite définie par l'équation (6), x et y étant les variables indépendantes. Il vient

dF ^ dF ^ dF ^

— dx -h - — dy -4- - dz = o, dx dy -^ dz

/dF ^ dF ^ dF ^ \(»J dF

{ -r- dx

\ dx dy

, dF . V« dF .

dy -\- - .- dz ) -^ — - a* 5 — o, ^ dz ) dz '

elles deux premières de ces équations peuvent remplacer les cinq relations (7) et (8); de l'expression de dz on déduit les deux dérivées du premier ordre, et de l'expression de d^z on déduit les trois dérivées du second ordre, etc. Considérons par exemple Inéquation

')0 CIIAPITRB II. — FONCTIONS IMPLICITES, KTC.

qui donne, en difTérenliant deux fois,

A T dx -h k'y dy - X" z dz — o.

A djc'-^Vdy'-h Vdz^-- X'zd^z ---

de la première on lire

, A .r djr -i- A ' V dy dz^- V-—

et, en portant cette valeur de dz dans la seconde, il vient

ArA.rï-^ \''zi)d.rt^7.\\'.ryd.rdv^\'(\'v'^-^ V'^^Wr» d^z .v-^TT"" ' '—'

On aura donc, en employant la notation de Monge,

La méthode est évidemment générale, quel que soit le nombre des variables indépendantes et Tordre des dérivées partielles que Ton veut calculer.

Exemple. — Soit z z=/{x^ y) une fonction cies deux variables x et y. (jonsidérons, dans la relation précédente, ^ et ^ comme deux variables indépendantes, et x comme une fonction implicite de ces deux variables; proposons-nous de calculer les différentielles du premier et du second ordre dx et d'^x. On a d'abord

dz = ; - dx -\- - - dy ; àx Oy *^

comme on prend ^y el z pour variables indcpendanles, on doit faire

et, en prenant de nouveau la différentielle, il vient

o = ^ dx^-^ 1 , '\ dxdy -f- ^-^ dy^-. :- d^x. dx* dx oy "^ oy* "^ dx

Ces équations peuvent s'écrire, en employant la notation abrégée de Monge pour désigner les dérivées partielles du premier et du second ordre de la fonction /(a:, ^),

dz = p dx -^ q dy^ o — r dx* -^ is dx dy -^ t dy* -r- p d*x:

on tire de la première

P «t, en portant celte valeur de dx dans la seconde, on a

rdz'-^i{ps — qr)dy dz -^(q^r — ■>.pqs -^ p^t) dy^

Les dérivées partielles du premier et du second ordre de x, considérée comme fonction des variables z et y, ont donc les valeurs suivantes

d.r I dx Oz p- dy

<)*.r qr — p$ dy Oz jo*

â^x __ r O^T __ ^ qr — ps O'^x ^ o.pqs — p^t — q^ r

àz* ~" "

Proposons-nous, comme application de ces formules, de trouver toutes

les fondions /(ar, ^) satisfaisant à Téquation q^r-hp^t = %pqs. Si, dans

la relation z =/{x, y)y on considère x comme une fonction des variables

O^x indépendantes y et z, la condition précédente devient -— = o. Cette

Ox équation exprime que — ne dépend pas dey; on a donc

âx

Oy *^

's(z) étant une fonction quelconque de z. Cette nouvelle équation peut

encore s'écrire

et elle exprime que x — yo(z) ne dépend pas dc^'. On a donc encore

6{z) étant une autre fonction quelconque de z, et Ton obtiendra toutes les fonctions z =^f(x,y) répondant à la question en résolvant l'équation précédente par rapport à z. Cette équation représente une surface engendrée par une droite qui reste parallèle au plan des xy.