INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES
que l'on ait F| = F2 ^^ F3 = o, et ces conditions sont suffisantes. Les formules qui donnent ds^ et dV prennent alors la forme simple
(20 ) ds^ = Uidu^- -4- H, dç^ H- H, dw^, dV = }/lÛH^ldu dv dw.
On peut retrouver facilement ces formules par quelques considérations de géométrie infinitésimale. Supposons du^^ dv^ dw très petits, et assimilons le solide élémentaire défini tout à Theure à an petit parallélépipède rectangle à faces planes. Les arêtes de ce
parallélépipède sont respectivement y/H| du, y/ïî^ dv, y/Hs dw^ en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur. Nous aurons les formules (20) en prenant pour élément linéaire et pour élément de volume la diagonale et le volume de ce solide élémentaire. L'aire d'une des faces ^1^^ Hq du dv représente de même l'élément d'aire de la surface («^).
Prenons pour exemple les coordonnées polaires dans l'espace
â? = p sinO cos^, ^ = p sioO sÎDcp, ^ = pcos6;
p représente la distance du point M(:r,y, ^) à l'origine, 0 l'angle que fait OM avec Ozy et cp l'angle que fait avec O^r la trace du plan MO>s sur le plan z=o. Pour obtenir tous les points de
Fig. 34,
psinQ ,'pd
l'espace, il suffit de faire varier p de o à -f- 00, 6 de o à it, et o de o à 27t. Des formules (21) on déduit, en faisant le calcul,
ds^ -= <fp* -h p* flTO* -4- p* sin'Ô do^
346 CHAPITRE Vil. — INTÉGRALES MULTIPLES.
et par suite
(a3) dW --^ p^ s\n^ dp d^ d(f.
On retrouve aisément ces formules sans aucun calcul. Les trois familles de surfaces (p), (6), ('^) sont respectivement des sphères concentriques à l'origine, des cônes de révolution autour de O2 ayant Torigine pour sommet et des plans passant par O2. Ces surfaces forment bien un système triple orthogonal, et les dimensions du solide élémentaire sont, comme on le voit immédiatement sur la figure^) rfp, p rf9, psinO^/cp; ce qui conduit aux formules (^2) et (aS).
Pour calculer au moyen des variables p, 9, cp une intégrale triple étendue à la région limitée par une surface fermée S qui n*est rencontrée qu'en un point par une demi-droite issue de l'origine, et qui renferme l'origine à l'intérieur, on devra faire varier p de o à R, si R=/(0, çp) est l'équation de la surface, puis 6 de o à 1: et cp de o à 27r. Par exemple le volume limité par cette surface est égal à l'intégrale triple
V== / d^ d^ 1 pîsinôéfp;
1,'n *yt\ %Ji\
la première intégration s'effectue immédiatement et il reste
^ . /•''Rosine
On emploie aussi quelquefois les coordonnées semi-polaires /*, w, Zj où ûo =^ r cos iô, y z= r sin (o. Dans ce cas, on a
ds* = dr^ H r* diù^ -^ dz^, et
d\ = r dta dr dz.
147. Coordonnées elliptiques. — Les surfaces représentées par Téqualion
où X est un paramètre variable et a > 6 > c > o, forment une famille de ({uadriques homofocales. Par chaque point de l'espace, il passe trois surfaces de cette famille, un ellipsoïde, un hyperboloïde à deux nappes et un
