I. — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

hyperboloïde à une nappe, car l'équation (24) a toujours une racine Xi comprise entre b et c, une racine Xj comprise entre a et b, et une racine X3 supérieure à a; ces trois racines Xi, Xj, X3 sont appelées coordonnées elliptiques du point de coordonnées rectangulaires x, y, z. Deux surfaces quelconques de la famille sont orthogonales, car si l'on remplace X par Xt, puis par X^, dans l'équation (24); ^^ qu'on les retranche membre à membre, il vient, en divisant par X^ — X^,

^^ ^ (X7-a)(XT=^) "^ ("XT~~6) ( X, -X) "■ (X,-c)(X,~ô "'''

relation qui démontre l'orthogonalité des deux surfaces (Xi) et (Xi).

Pour avoir facilement x^yy z en fonction de X], Xi, Xs, remarquons que Ton doit avoir identiquement

(X--a)(X— -ô)(X -c)~a7î(X — ô)(X — c)— ^«(X —aXl — c) — 4;î(X — a},^X-6) = (X — XiK>^~>^î}(>^">^3);

en faisant successivement X = a, X = 6, X = c dans cette identité, on en tire

xi =

(X3 — a){a — Xi)(a — Xj") (a — b)(a — c)

vî= (X3-6)(X,-6)(6-XO ^ {a — b)(b'^c) '

(a-cKb-c) On déduit de là, en prenant les dérivées logarithmiques,

ak) aki dX^

a? / oX, 2 ^ X| — a

Xj — a X3 — a

^y- a(xi-6 "^X.-'ô "^Xs-^j

- -S / rfXi fl^Xt cA» \

dz = - ( r î- -f- T ~ -f- -. —

en faisant la somme des carrés, les termes en cCk^cCkt, d\tdk^y dXidk^ doivent disparaître d'après la relation (25) et les relations analogues. Le coefficient de d\\ est

I r ar« 7* . ^* 1

ou, en remplaçant x^^y^, -s* par leurs valeurs et réduisant,

, , M I (X3— Xi)(Xt— Xj)

^''^^ '*'*~4 (Xi-a)(Xi-6nXi-c)'

et les coefficients Ms et M3 de 6fX| et de </X| s'en déduiront par permutatation circulaire. L'élément de volume est alors /MiMsMa^Xi^/Xje/Xs.

348 CHAPITRE Vil. - ' INTÉGRALES MULTIPLES.

148. Intégrales de Dirichlet. — Soit à calculer Tintégrale triple

/ / I xPy^z'{\ - X —y - zydx dy dzj

prise à l'intérieur du tétraèdre formé par les quatre plans a: — o, ^ = o, ^ = o, a? -k-y i- ^ — I . Posons

\y 7), C étant trois nouvelles variables; ces formules peuvent encore s'écrire

^ x-hy-^z y -^ s

et l'on a inversement x — ^(i — t'))>^ = Ît^(ï — ?)» ^ = i^X' Lorsque x^ y, z sont positifs et que la somme x -hy -r- z est inférieure à un, J, t), Ç sont compris entre zéro et un. Inversement, lorsque ^, t), ^ sont compris entre zéro et un, on a a:* > o, ^ > o, z^o, x-^y-hz<ii. Le tétraèdre précédent est donc remplacé par un cube.

Pour calculer le déterminant fonctionnel, posons X = J» Y = ^tj, Z = Çr,^, ce qui donne x = X — Y, y = Y — Z ; -s = Z, on a

D(ar,^r, z) D(a?, y, z) D(X, Y, Z) ,,

DU, r„Ç;- ■ D(X, Y, Z)'"^D(e, Yj/Ç) ^ '^^

et l'intégrale triple devient, par ce changement de variables.

Jp4-7-t-r+2(, __ J)5Yl7^-r+l(, — 7) )/'?'•(! — Ç)ffrf;.

La fonction sous le signe / est le produit d'une fonction de ( par une fonction de t) et une fonction de (. L'intégrale triple est donc le produit

i 5A'+7+r-»-ï(,__Ç)5û^^ X f 7)^+'*+i(l — rJPû?7) X f Î''(I - O^^C,

ou, en introduisant les fonctions Y [voir formule (33), p. 3i5],

r(/> 4- gr - ;• -t- 5 -h 4 ) r(/? -h ^ -I- r -1-3) ri^y-hr-ha) '

en supprimant les facteurs communs, il reste, pour valeur de l'intégrale triple,

( 28 ) ^- ■ ^-t lll( ?-^ ' )r(r-!-i)r(jg-^i ) ^

149. Formule de Green. ^ Il existe pour les intégrales triples une formule toute pareille à la formule (i5) du n** 126. Considérons d'abord