I. — INTEGRALES MULTIPLES. — CHANGBUBNTS DE VARIABLES

une surface fermée S qui n'est rencontrée qu'en deux points par une

parallèle à l'axe Oz^ et une fonction R(27, v, z) continue, ainsi que 3-9

âz

à rintérieur de cette surface. Tous les points de S se projettent sur le plan des xy suivant les points d'une aire A limitée par un contour fermé G. A tout point (x^ y) de la région A correspondent deux points de coordonnées -«1= <pi(iri /) et -81= ?î(^>^) de la surface S. Cette surface se trouve ainsi décomposée en deux morceaux Si et S^; nous supposeroDs Z\ < Zx. Gela posé, l'intégrale triple

-—- dx dy dz.

dz -^ '

«tendue à l'intérieur de la surface fermée S, peut s'obtenir en intégrant d*abord par rapport à z entre les limites Zi et z^ {n" 144). Le résultat de cette première intégration est R{x, y, z^) — R(iF, ^, ^|), et Ton doit ensuite prendre l'intégrale double

[^{x,y, Zi)— ï{{x, y, Zt)]dx dy,

dans la région A. Or l'intégrale double / / R(x, y ^ z^) dx dy n'est autre •chose que l'intégrale de surface (n" 135)

/ / R(^,r» z)dxdy,

prise sur le côté supérieur de la surface Sf. De même, l'intégrale double de R(a?,^, ^1), changée de signe, est l'intégrale de surface

/ y R(Xjy, z)dxdyy

iS|)

prise suivant le côté inférieur de Si. En ajoutant les deux intégrales, nous pouvons donc écrire

J J J 'ôz^^^^^^~ f j ^i^^y^ ^)^^y^

l'intégrale de surface étant prise suivant le côté extérieur de S.

Cette formule s'étend, comme on l'a déjà expliqué plusieurs fois, à un volume limité par une surface de forme quelconque, et, en permutant â?, y, Zf on en déduit deux autres formules toutes pareilles,

J J J ^ ^^^^^^ '~ J I Q(^'/> z)dzdx.

En les ajoutant, en obtient la formule générale de Green pour les intégrales triples

(ag)

les intégrales de surfaces étant toujours prises suivant le côté extérieur. Si, par exemple, on fait P = a:, Q — R = o, ou Q = ^, P = R = o, ou R = Zf P — Q = o, on voit que le volume intérieur à S est égal à l'une quelconque des intégrales de surfaces

(29)' j f xdydz, j j ydzdx. Il zdxdy,

150. Intégrales multiples. — Les expressions purement analytiques que Ton a obtenues pour une intégrale double et une intégrale triple permettent d'étendre la définition aux fonctions d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous nous bornerons à indiquer sommairement la marche à suivre.

Soient Xi, x^, ...jXn un système de n variables indépendantes. Nous dirons, pour abréger, qu'un système de valeurs a?}, arj, . . ., xj attribuées à ces variables représente un point dans l'espace à n dimensions. Toute relation F(a?i, x^, ..., x„) =0, dont le premier membre est une fonction continue, représentera de même une sur/ace; si F est du premier degré, nous continuerons à dire que cette équation représente un plan. Considérons l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient certaines relations d'inégalité, telles que

(3o) '^/(a:!, xx, ..., Xn)âo (t = I, 2, .. ., X:);

nous dirons que cet ensemble de points forme un domaine D dans l'espace à n dimensions. Si, pour tous les points de ce domaine, la valeur absolue de l'une quelconque des coordonnées j?/ reste inférieure à un nombre fixe, on dira que D est tout entier à distance finie. Si les inégalités qui définissent D ont la forme suivante

nous appellerons ce domaine un prismatoïdCy et nous dirons que les n nombres positifs x]--x^i sont les dimensions de ce prismatoïde. Enûn nous dirons qu'un point du domaine D appartient à la frontière de ce domaine, si l'une au moins des fonctions 4'/ des formules (3o) est nulle pour les coordonnées de ce point.

Cela posé, soit D un domaine fini et f{xy^ iTj, ..., Xn) une fonction continue dans ce domaine. Imaginons D décomposé en domaines plus petits au moyen de plans parallèles aux plans a?/— 0(2=1,2, ...,/i).