INTÉGRALES MULTIPLES. -— CHANGEMENTS DE VARIABLES

Prenons l'un quelconque des prismatoïdes déterminés par ces plans, qui sont tout entiers intérieurs à D; soient Aâ^i, Aarj, . . ., ^^ les dimensions de ce prismatoïde, et Çj, 3t? • -t ^n les coordonnées d'un point quelconque appartenant au prismatoïde. La somme

(32) S = 2/(Ç,,Ï,, ..., Ç„)A:riAar2... Aar„,

étendue à tous les prismatoïdes qui sont tout entiers à l'intérieur du domaine D, tend vers une limite I lorsque le nombre de ces prismatoïdes augmente indéfiniment^ de façon que toutes leurs dimensions tendent vers zéro. On appelle cette limite l'intégrale /i^'^ de /(a?i, a?î, ..., Xn)i prise dans le domaine D,

I = I / • • • f /(^\j ^l: • • • > ^n ) dX\ dXf , . . dXn .

Le calcul d'une intégrale n?^^ se ramène encore au calcul de n intégrales simples successives. Pour établir que la loi est générale, il suffit de montrer que, si elle est vraie pour une intégrale (n — i)p*% elle s'étend à une intégrale nP^^. Considérons pour cela un point quelconque

de D; si nous faisons abstraction pour un moment de la variable :r„, le point (a?!, a?î, . ., x^-x) décrit un certain domaine D' dans l'espace à (n — i) dimensions. Nous supposerons que le domaine D satisfait à la condition suivante : à tout point (a?i, a?2, ..., Xn-\) intérieur à D', correspondent seulement deux points sur la frontière de D, de coordonnées {x\, Xf, ..., Xn-i\ x[}^) et (a?!, Xi, ..., Xn-}] x[}^)^ les coordonnées a?i,** et x^^^ étant des fonctions continues des {n — i) variables rri, a?s, ..., Xn-i à l'intérieur de D'. Si cette condition n'était pas satisfaite, on partagerait D en domaines assez petits pour vérifier séparément cetle condition. Gela posé, considérons la file de prismatoïdes du domaine D, qui correspondent à un même point {xi, x^, ..., ar^-O; on démontrera, comme on l'a déjà fait pour une intégrale double (n^'^lâ^ », que ces prismatoïdes donnent dans S une somme égaie à

Aa?i Aarj . . . Axn i I / f{^u^t^ . , .^ Xn)dxn-\- ^u

l^l pouvant être rendu moindre que tout nombre positif pourvu que toutes les quantités Aa?/ soient assez petites. Si nous posons

f fi^Xy ^S» • ••, Xn)dXny

jr(')

nous voyons que I est égal à la limite de la somme

2*(a:i, 37,, . . ., Xn-\) ^Xi^xt . . . Aar^-i,

c*est-à-dire à l'intégrale (n — i)p'*

I = / / / • . • / *(^lî ^î> • • • . ^/i-l ) dxi . . . dXn-\

dans le domaine D'. La loi étant supposée vraie pour une intégrale (/i — 1)>*'% elle est donc générale.

On pourrait encore opérer autrement. Considérons Tensemble des points (xi, x%, ..., Xfi) pour lesquels la coordonnée Xn a une valeur donnée; le point (J7i, x^, ..., Xn-\) décrit dans l'espace à (n — i) dimensions un domaine 8, et l'on voit sans peine que l'intégrale n^^^i est aussi égale à Texpression

(35) 1= / HXn)dXn,

e au

^{xn) étant l'intégrale (/i — i)p" l j \ - " f f^^i • • • <^^n-i étendu

domaine 8. Quelle que soit la façon dont on opère, les limites pour les diverses intégrations que l'on a à effectuer dépendent de la nature du domaine D et varient en général avec l'ordre des intégrations. Il y a exception si D est un prismatoïde défîni par les conditions

L'intégrale multiple a, dans ce cas, pour expression

f dxi j dxf ... / y dXfii

et l'on peut intervertir d'une façon quelconque l'ordre des intégrations, sans changer les limites correspondant à chaque variable.

La formule -du changement de variables s'étend aussi aux intégrales n^^. Soient

(36) Xi= Oi{x\y x'^, x'n) {1 = 1,1, ..., n)

des formules de transformation, faisant correspondre point par point à an domaine D', décrit par le point {x\f âr,, .... x'„), un domaine D décrit par le point (a?!, x^^ . . . , Xn). On a

l / / ... / F(j:i, a?i, . , ., Xn)dxi . . . dxn

La démonstration est toute semblable aux précédentes. Je me bornerai à indiquer, dans ses grandes lignes, la marche à suivre :