I. — INTEGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

1** Si la formule (37) est vraie pour deux transformations, elle est vraie pour celle que Ton obtient en les effectuant successivement;

a** Tout changement de variables s'obtient par la combinaison de deux changements tels que les suivants :

(3o)a?i = ^l, a?j = a?j, •••» ^n— l^^^n— i» ^n ^^ ^ni^ii ^%i "'t^nji

(39)a?i= 4/1(57^, .,.yXn)i ..., ar„-i = ^«i(a?'i, . . ., a?;,), a?„=a?i.

3^ La formule (37) s'applique au changement de variables de la forme (38), comme il résulte de la forme (34) sous laquelle on peut mettre une intégrale /ip'*. Elle s'applique aussi au changement de variables (39), d'après la seconde forme (35) de l'intégrale multiple, si l'on admet que la formule est établie pour les intégrales multiples d'ordre n — 1 . On démontrera donc de proche en proche que la formule est générale.

Supposons, pour donner un exemple, que l'on veuille calculer l'intégrale définie

I =//... / X^*X^'- .. ,xf^'*(J — Ti — Xi—. . . — Xn)^dXy dXi .. , dXnj

où «1, ocs, ..., «/») P sont des nombres positifs, dans le domaine D défini par les inégalités

o=J^i» 0^37», . ., o^Xnt a?i-harj-h. ..-+-a?„5i» Le changement de variables donné par les formules

X|-r-a?i -h. . .-ha^rt — $1, 372 -^. . .-+-arrt= Çi{,, ..., 3?;,= Ji{, . . . Ç„ remplace D par un domaine D' défini par les inégalités

et l'on a de plus, comme le prouve un calcul facile (n"* 148),

La fonction à intégrer prend la forme

et l'intégrale cherchée s'exprime encore au moyen de la fonction T

jj ^ r(gi -h i)r(«2-h 1) . . . r(g„-h i)r(p -+- p ^

^^^^ r(ai -+- «t-i- •••-+- «/i H- p-^ 'i-M)