Théorème général. — Soit (E) un système de n équations

, F, (Xi, Xf, . . ,, Xp\ Ml, a,, . . ., Un) =0,

entre n-hp variables W|, 1/0, ..., u,t', x,, Xn, ..., Xp, On

suppose que ces équations sont satisfaites pour les valeurs j7< = xj, ..., Xp:=x^p, Wj = «J, .... w,,z=£/®, que les fonctions F| sont continues et admettent des dérivées partielles du premier ordre continues dans le voisinage de ces valeurs, et enfin que le déterminant

ôux du^ àU{ dui

dFy

àun dun

n^ est pas nul pour

dui dui

àFn

dUn

Xi - - X i ^

Uk= «A

Dans ces conditions, il existe un système de fonctions et un

seut U\ t^= cpi yX\ , x^^ * • • ? ^ pji • • • > ''« ^== ^«(-^i ? «^ai • • • ? ^p)^ satisfaisant aux équations (E), et se réduisant respectiçement a u . ^ ^t^f •••^ ^^ ni pour X i ^^- x , ^ • . « ^ *^ p — *^ n •

Le déterminant A s'appelle le Jacobien (*) ou le Déterminant fonctionnel des n fonctions Fj, Fa, ..•, F,j par rapport aux variables w,, u^t •••, Un- On le représente par la notation

r»rF,, Fo, ... , F„ ) ^

D(W,, M,, .. ., Un)

' Nous commencerons par établir le théorème dans le cas particulier d'un système de deux équations avec trois variables indépendantes et deux inconnues u ei v

Fi(^, J^, 5, u, p) = o,

(lo) F,(a:, 7, 5, M, i') = o.

Ces équations sont satisfaites, par hypothèse, pour x

y = J^O) ^ = -So» '^ = "o, i' =^ s^ot et le déterminant

dFx dV^ aF, dFj

^Ot

du dv

dv du

n'est pas nul pour ce système de valeurs ; il en résulte que l'une au

( » ) jAGOBiy Journal de Crelle, tome 22.