Même question pour l'intégrale multiple

Cf. . . fx'i^x'i* . . . 2rS-F r^|l V'' -t- . . . 4- (^)''"1 dx.dxt . . . dx„,

étendue au domaine D défini par les inégalités

o1t„ o^a?,, ..., Oj:Xn, ( — ) 4-...-f-(— I -I.

*7. Démontrer la formule

l'intégrale multiple étant étendue au domaine D défini par l'inégalité

*8. Démontrer la formule

f d^ I F(acosO + 6 sinô coscp +csinô sinQp)8in6 ^(p = 21C / F(uR)du,

où a, 6, c sont des constantes quelconques et où Ton pose R = /a'-+-A*-+-c*.

[Poisson.] [On peut observer que l'intégrale double représente une certaine intégrale de surface étendue à la sphère a?' -t- ^* -f- z* = i , et prendre le plan bx -^ cy -h az = o pour nouveau plan des xy,]

*9. Soit p = F(ô, cp) l'équation d'une surface fermée en coordonnées polaires. Démontrer que le volume limité par cette surface est égal à l'intégrale double étendue à toute la surface

(a) ^JJpcos^dfi,

dv étant l'élément d'aire, et y l'angle que fait le rayon vecteur avec la normale extérieure.

*10. Un ellipsoïde étant représenté par l'équation

définissons un point de sa surface par les coordonnées elliptiques v et p, c'est-à-dire par les racines de l'équation précédente où Ton aurait remplacé [i par l'inconnue {voir n^ iÂl), L'application des formules (29)' au volume de cet ellipsoïde conduit à la relation suivante :

L'application de la formule (a) donne de même

"* (v« — p*)rfv Tt

[Lam^.]

11. Déterminer les fondions P(a?, y), Q(a7, y)^ continues ainsi que leurs dérivées partielles, de telle façon que l'intégrale curviligne

jV(x -h a, ^ H- p ) cte -H Q(ar -h a, ^ -h P) dy,

prise le long d'un contour fermé quelconque, soit indépendante des constantes a, p et ne dépende que du contour lui-même.

[Licence : Paris, juillet 1900.]