DE CONVERGENCE

156. Définitions et généralités. — Les propriétés élémentaires des séries sont exposées en détail dans tous les cours d'Algèbre. Nous en résumerons rapidement les points principaux.

Considérons d'abord une suite indéfinie de quantités

dont chacune occupe un rang déterminé; cette suite est dite convergente si Sn tend vers uije limite 5 lorsque le rang n augmente indéfiniment. Toute suite qui n'est pas convergente est dite divergente; cela peut arriver soit que 5,1 finisse par rester supérieur à tout nombre donné à l'avance, soit que s„ ne tende vers aucune limite, sans augmenter indéfiniment.

Pour qu'une suite soit convergente, il faut et il suffit qu!à tout nombre positif t on puisse faire correspondre un nombre entier n tel que la différence Sn+p — Sn soit moindre que t en valeur absolue, quel que soit le nombre entier positif p,

La condition est nécessaire. En effet, si s,t a pour limite s lorsque n croît indéfiniment, on .peut trouver un nombre n assez grand pour que toutes les diff^érences s — .v„, s — s„^i > • • • ?

s — Sn^p^ . . •, soient inférieures en valeur absolue à -• La diff*é-

rence Sn^p — Sn sera donc moindre, quel que soit/?, que 2 - = e.

Pour démontrer la réciproque, nous introduirons une nouvelle notion très importante, due à Cauchj. Supposons tous les termes

de la suite (i) inférieurs en valeur absolue à un nombre positif N; tous les uombres compris entre — N et -+- N peuvent être séparés en deux classes de la façon suivante. Nous dirons qu\m nombre appartient à la classe A, s^il existe une infinité de termes de la suite (1) supérieurs à ce nombre, et à la classe B, s'il n'existe qu\iQ nombre fini de termes de la suite (i) supérieurs à ce nombre. Il est clair qu'un nombre compris entre — N et + jN appartient à Tune des deux classes, et que tout nombre de la classe A est inférieur à un nombre quelconque de la classe B. Soit S la limite supérieure des nombres de la classe A, qui est en même temps la limite inférieure des nombres de la classe B. C'est ce nombre S que Caucliy appelle la plus grande des limites (*) des termes de la suite (1). Il ne faut pas confondre S avec la limite supérieure des termes de la suite (i); ainsi, pour la suite

la limite supérieure (n® 68) est i, tandis que la plus grande des limites est o.

11 est facile de justifier le nom adopté par Gauchy. D'après la définition même du nombre S, il existe toujours une infinilé de termes de la suite (1) compris entre S — £ et S -f- s, aussi petit que soit le nombre positifs. Considérons alors une suite de nombres positifs dt'^croissants êi, So» • • -i £//î . . ., le terme général e„ tendant vers zéro, et à chaque nombre s/ faisons correspondre un nombre a/ de la suite (1) compris entre S — £/ et S -|- £,. Nous obtenons ainsi une suite de nombres ai, a^, . . ., a„, . . . appartenant à la suite (i) et ayant pour limite S. D'ailleurs il est clair, d'aprt'S la façon même dont on a défini S, qu'on ne pourrait pas détacher de la suite (1) une suite partielle ayant pour limite un nombre supérieur à S. Lorsqu'une suite est convergente, la limite est évidemment le nombre S lui-même.

Cela posé, supposons que la di (Té renée 5,/+^ — Sn de deux termes de la suite (1) soit inférieure en valeur absolue à un nombre

(•) Résumés analytiques de Turin, i833 {Œuvres complètes, a* série, t. X,

La définilion s'étend d'clle-mèoie à toul ensemble de nombres limité supérieurement.