Étant donnée une suite infinie quelconque

MO) **1> Wj, . . . , Ufty ...

on dit que la série

esi convergente, si la suite formée par les sommes successives des termes de cette série

S© = Wo» S| = Wq -h «I, .... •*^,7 - Wj H- /'i - - . . . -4- M,/,

est elle-même convergente. Soit S la limite de cette suite, c'est à-dire la limite vers laquelle tend la somme S« lorsque n augmente indéfiniment; S s'appelle la somme de la série précédente, et l'on indique cette dépendance par l'cj^alité

-hoc

s = Mo 4- Ui H- ... -f W/, -h ... — ^ Wy.

Une série qui n'est pas convergente est appelée divergente. Reconnaître si une série est convergente ou divergente revient

donc à reconnaître si la suite formée par les sommes successives Sq, S|, S2, ... est elle-même convergente ou divergente. Inversement, pour savoir si une suite infînie quelconque

est convergente, il suffit d^examiner la série

car la somme S,i des (n + 1) premiers termes de cette série est évidemment égale au terme général s„ de la suite considérée. Cette remarque est d^une application fréquente.

La série (2) est convergente ou divergente en même temps que la série

obtenue en supprimant les p premiers termes de la série (2). En effet, soient S„{n >/>) la somme des n -\- i premiers termes de la série (i), et S„^ la somme des n — /; -}- i premiers termes de la série (3) :

'^n—p — Wyi ^~ '^/n-l -^ « . • -f- M/i »

la différence S„ — S«^ = Wo4- Wi +• • .+ f^p-ï ne dépendant pas de n, si la somme S» tend vers une limite, il en est de mémo deS/,^, et inversement. Il suit de là que, pour reconnaître si une série est convergente ou divergente, on peut toujours négliger autant de termes que Ton voudra, au commencement de la série. Soient S la somme d'une série convergente, S„ la somme des n -h i premiers termes de la série, et R,, la somme de la série commençant au terme Un^\

On a évidemment

Il est en général impossible de calculer exactement la somme S d'une série convergente; si l'on prend pour valeur approchée de S la somme S/i des n+i premiers termes, l'erreur commise est égale à R/,. Puisque S/, a pour limite S lorsque n augmente indéfiniment, la différence R;, tend vers zéro, et l'on peut toujours prendre un nombre de termes assez grand pour que Terreur com-