I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DKS SÉRIES
mise en remplaçant S par S// soil moindre que tout nombre donné à l'avance, du moins théoriquement. Il suffit de connaître une limite sup«'*rieure de R» pour se rendre compte de l'approximation obtenue. Il est clair que, dcins la pratique, les seules séries qui se prêtent aux calculs numériques sont celles pour lesquelles le reste R,| tend assez rapidement vers zéro.
De la déOnition même de la convergence résultent un certain nombre de propriétés qu'il nous suffira d'énoncer :
i^ Si l'on multiplie tous les termes d'une série par un nombre constant a, diiTérent de zéro, la nouvelle série est convergente ou divergente en même temps que la première; lorsque la première est convergente et a pour somme S, la somme de la seconde série est aS ;
2" Si l'on a deux séries convergeutes
Wo -H Wi -H Ml -f- . . . -h Mn -h . . .
Vo -^ Vi -^ Vi -h., .-i- Vn "h. . .
ayant respectivement pour sommes S et S', la nouvelle série obtenue en les ajoutant terme à terme,
est convergente et a pour somme S -H S'. Il en serait de même si l'on ajoutait terme à terme/? séries convergentes;
3" On ne modifie pas la converj;ence ou la divergence d'une série en changeant la valeur d'un nombre fini de termes de cette série; car cela revient à augmenter ou à diminuer toutes les sommes S„ d'une quantité constante, à partir d'une valeur assez grande de n.
La critérium de conver*;ence d'une suite infinie quelconque, appliqué aux séries, donne la règle générale de convergence de Cauchy (*). Pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit qu'à tout nombre positif e on puisse faire correspondre un nombre entier n, tel que la somme d'un nombre quelconque de termes à partir de Un^\ soit moindre en valeur absolue que e.
On a en effet ^n^p — S„= Un+\ H- Un+i-^' • •+ "«+;»• E'« particulier le terme général Un^\ = Sn+t — S« doit tendre vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.
(*) Exixices de Mathématiques; 1827. Œuvres complètes, t. Vil, 2* série^ p. 267.
374 CHAPITRE VIII. - DBVBLOPPEMKNTS EN SÉRIKS.
La règle de Cauchy e&l absolument générale, mais elle esl dlffîcilemenl applicable dans la pmliqiie; elle n'est au fond que le développement de la notion même de limite. Nous allons rappeler les règles pratiques les plus usllces pour reconnaîlre la convergence ou la divergence d'une série. Ces règles offrent toutes ce caractère commun de n'élre applicables que dans des cas particuliers, mais elles suffisent dans la plupart des cas.
. 158. Séries à termes positifs. — Les séries dont tous les termes sont positifs ont une grande importance, et nous commencerons par les étudier. Dans une telle série, la somme S^ va en croissant avec n ; pour que la série soit convergente, il suffira donc que cette somme S^ reste inférieure à une limite fixe, quel que soit n. Le procédé le plus général pour décider de la convergence ou de la divergence d'une série consiste à comparer la série proposée à une autre série déjà étudiée. On s'appuie pour cela sur les deux propositions suivantes :
1° Si une série à termes positifs a tous ses termes inférieurs ou au plus égaux respectivement à ceux d'une autre série convergente à termes positifs, la prenriière série est convergente.
Car la somme S^ des n premiers termes delà série proposée est évidemment plus petite que la somme S' de la seconde série; elle a donc une limite S inférieure à S'.
2.^ Si une série à termes positifs a tous ses termes plus grands respectivement que ceux d'une série divergente à termes positifs, elle est également divergente.
Car la somme des n premiers termes de la première série esl supérieure à la somme des n premiers termes de la seconde et par suite augmente indéfiniment avec n.
On peut faire la comparaison de deux séries d'une autre façon, en s'appujant sur le lemroe suivant : Soient
(U) Mo -h Wi -h Mt-4-. ..-+-!*« + .. .
(V) i^o -l- t^l -+- «'î H- . • . H- t^rt -+- ■ • .
deux séries à termes positifs. Si la série (U) est convergente et si,
série (V) est aussi convergente. Si la série (U) est divergente el
a partir d un certain rang, on a constamment — -^ <[ -y la
