I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
SI, à parlîr d'un certain rang, on a constamment -^^ < ^^^, la
série (V) est également divergente.
Pour démontrer la première partie, supposons que Tinégalité
-^ <; ^±1 soit vérifiée pour n^p. Comme on n'altère pas la
convergence d'une série, ni le rapport d'un terme au précédent, en multipliant tous les termes par un même facteur constant, on peut supposer Vp<i itp. et il est évident que l'on aura i^p^t < "/>+m puis i'p^2<^ ^^p+27 • • •• La série (V) sera donc convergente. La seconde partie du lemme s'établit de la même façon.
Étant donnée une série à termes positifs, de caractère connu, on peut la prendre comme terme de comparaison, et l'on obtient ainsi deux propositions permettant dans certains cas d'affirmer la convergence ou la divergence d'une autre série à termes positifs, suivant que l'on compare les termes eux-mêmes des deux séries, ou les rapports de deux termes consécutifs.
159. Règles de Cauchy et de d'Alembert. — La série la plus simple que Ton puisse prendre comme terme de comparaison est la progression géométrique de raison r, qui est convergente si r<i, et divergente si r^i. La comparaison d*une série à termes positifs avec une progression géométrique conduit à la régie suivante, due à Cauchy :
Lorsque, dans une série à termes positifs, sfûn est, à partir d^un certain rang, constamment moindre qu^un nombre fixe,
inférieur à V unité, la série est convergente; si \Jun est, à partir d^un certain rang, constamment supérieur à V unité, la série est divergente.
Dans le premier cas, on a, en effet \/uit<ik<::i\y et par suite u„<Ck''. Les termes de la série sont donc, à partir d*un certain rang, moindres que ceux d'une progression géométrique déraison plus petite que Tunité.Dans le second cas, au contraire,
on a \/u,i >- 1 , et i/„ > I ; le terme général ne tend donc pas vers zéro.
La règle précédente est applicable, toutes les fois que ^Un tend vers une limite, et l'on peut encore énoncer la proposition suivante :
Si sjun tend vers une limite l, lorsque n croit indéfiniment, la série est convergente si l est inférieur à un, et divergente si l est supérieur à un.
Si /= I, il y a doute, sauf dans le cas où ^/ô^ tend vers l'unilé en lui restant supérieur; la série est alors divergente.
En comparant de même le rapport de deux termes consécutifs d\ine série à termes positifs au rapport de deux termes consécutifs d'une progression géométrique, on obtient la règle de d'Alembert :
Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d'un terme au précédent est, à partir d^un certain rang, inférieur à un nombre fixe plus petit que C unité, la série est convergente. Si ce rapport est, à partir d' un certain rang, supérieur à U unité, la série est divergente.
On en déduit comme corollaire que si le rapport -^^ tend
Un
vers une limite /, lorsque n augmente indéfiniment, la série est convergente si / < ' ? €t divergente si / >> i . Le seul cas
douteux est celui où /= i, à moins que — ^^ ne tende vers un en
lui restant supérieur. La série est alors divergente.
Remarques diverses, — La règle de Gauchy est plus générale que celle de d'Alembert. Supposons, en efîet, que les termes d'une série soient, à partir d'un certain rang, plus petits que ceux d'une progression géométrique décroissante; le terme générai Un sera, pourvu que n soit plus
grand qu'un nombre fixe p^ inférieur à Ar'^, A étant une constante et r
étant plus petit que un. On aura donc ^Un<i rX"^ et le second membre a pour limite r lorsque n augmente indéfiniment. En désignant par k un nombre fixe compris entre r et i, on aura donc, à partir d'un certain
rang, V^<^/i< A*. Nous sommes donc toujours dans un cas où la règle de Gauchy e<^t applicable, mais il peut se faire que le rapport ""^' prenne
Un.
des valeurs supérieures à un, aussi loin que l'on aille dans la série. Prenons, par exemple, la série
!-+- r I sin a I H- r* I sin îa I -+- . . . -h r» I sin na 1 4- . . . ,
où r < I, a étant une constante quelconque. On a ^u^ = r y^|sin/ia| < r, tandis que le rapport
Un
sin(/i -+■ i)a
sni/ia
