I. — PROPRiéTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
peut prendre en général une infinité de valeurs supérieures à un, lorsque n augmente indéfiniment.
Il y a cependant avantage à conserver la règle de d'Alembert, qui est souvent d'une application plus facile. Ainsi, dans la série
le rapport d'un terme au précédent a zéro pour limite lorsque n
augmente indéfiniment, tandis qu'on ne voit pas immédiatement ce que
devient yan= — pour des valeurs très grandes de n.
Quand on a reconnu, par l'application d'une des règles précédentes,
que les termes d'une série sont respectivement moindres, à partir d'un
certain rang, que ceux d'une progression géométrique décroissante
A, Ar, Ar', ..., Ar", ...,
il est facile d'avoir une limite de l'erreur commise quand on prend pour somme de la série la somme de ses m premiers termes; cette erreur est évidemment moindre que la somme de la progression
Ar"*
Ar"»-4- Ar"*-*"»H- Ar"«+* + . ..=
Lorsque les deux expressions yiTn et ^"*"' ont chacune une limite, ces deux limites sont les mêmes. Considérons, en effet, la série auxiliaire
(4) Wo-+- Mior-h Mja?*-!-. . .+ artj:«-+-. . .,
où X est positif. Dans cette série, le rapport d'un terme au précédent a pour limite /x, / étant la limite du rapport — ^^ la série (4) est donc
Un
convergente si Ton a iF< y» et divergente si a? > y De même, en désignant par /' la limite de y/un-i l'expression ^ UnX^ a pour limite V x^ de sorte que la série (4) doit être convergente si l'on a a: < , , et divergente
si a? > — • Pour que ces deux caractères de convergence ne soient pas en
contradiction, il faut évidemment que 1 = 1'; si l'on avait par exemple,
/ > /', tout nombre x compris entre 7 et p rendrait la série convergente
d'après la règle de Gauchy, tandis que le même nombre rendrait la série divergente d'après la règle de d'Alembert.
Plus généralement, lorsque ^"*"' tend vers une limite /, ^Un tend vers
la même limite (}). Supposons, en elTet, qu'à partir d'un certain rang tous les rapports
soient compris entre l — e et / H- £, & désignant un nombre positif que l'on peut supposer aussi petit que l'on veut, pourvu que n soit assez grand. On aura aussi
Ufi
ou encore
lorsque, n restant fixe, le nombre p augmente indéfiniment, les deux termes extrêmes de cette double inégalité tendent respectivement vers / — s et / H- e. On aura donc, pour toute valeur de m supérieure à une limite convenable,
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et, comme s est arbitraire, on en conclut que ^u„t a pour limite le nombre l.
H est à remarquer que la réciproque n'est pas vraie. Prenons, par exemple, la série
où a et 6 sont deux nombres différents. Le rapport d'un terme au précédent est alternativement a ou 6, tandis que l'expression /ûT ^ pour
limite /ô^ lorsque n augmente indéfiniment.
La proposition précédente peut servir à trouver la limite de certaines expressions qui se présentent sous forme indéterminée. Elle nous montre.
par exemple, que y^i .1 . . . n augmente indéfiniment avec n, car le rap-
port '- '-- augmente lui-même indéfiniment. On verra de même
que v'^ a pour limite l'unité, ainsi que v^log/i.
160. Application de la plus grande des limites. — Cauchy a présente la règle précédente sous une forme plus générale. Soit aitle terme général d'une série à termes positifs. Considérons la suite
(5) a,, aj, a.5, aj
(•) Cauchy, Cours d'Analyse.
