I. — PONCTIONS IMPLICITES

moins des dérivées -p » — ^ n'est pas nulle pour ces mêmes valeurs.

Supposons, pour fixer les idées, que -^ ne soit pas nulle. D'après

le théorème établi plus haut pour une seule équation, la relation (9) définit une fonction ç' des variables x^y^ z, w,

qui se réduit à r© pour x = x^^ y=zyQ^ z=:Zo, u = Uq. Imaginons qu'on ait remplacé p par cette fonction dans l'équation (lo) ; nous sommes conduits à une relation entre x^ y, z et ^^,

*(^»r> ^> u) = ¥t[x,y, z, u,^{x,y, z, a)], qui est vérifiée pour x = a:©,^ =/o) ^ = 5o, m = Uq.Oïï a

Ou du dv Ou*

or, de la relation (9) on tire

()F, OFi àf Ou 0\f Ou '

et, en remplaçant ~- par cette valeur dans -^-y il vient

Ou OY^

Os?

On voit que cette dérivée n'est pas nulle pour les valeurs ^r©, J^o» ^oj Wo't la relation 4> = o est donc satisfaite en prenant pour u une fonction continue u = ^{x^ y, z) qui est égale à iin pour X = Xo, y =j^o, z = Zq^ et, en remplaçant u par y (^, y, 5) dans /"(^, J^, Zf u)j on a également pour v une fonction continue. La proposition est donc établie pour un système de deux équations.

On démontre, comme plus haut, que ces fonctions admettent des dérivées partielles du premier ordre. Laissant y et z constants, donnons à :r un accroissement A^, et soient ^u et Ac^ les accroissements correspondants des fonctions u tl v. Les équations (9)

et (lo) peuvent s'ccrîre

c, e', e", •/), r/, y/' tendant vers zéro lorsque Ax, Aw, Ar tendent vers zéro. On déduit de là

lorsque Ùlx tend vers zéro, il en est de même de Aw, ^v et, par suite, de s, e', s^', t., y/, r/'. Le rapport -~ a donc une limite, c'està-dire que u admel une dérivée partielle par rapport à x

/dF, Aa \ dx

f)Fi

dT^

àF,

dç