PROPHIÉTKS GÉNÉRALES DKS SÉRIES

si les termes de cette suite n*ont pas de limite supérieure, le terme géDéral an ne tend pas vers zérOi et la série est divergente. Si tous les termes de la suite (5) sont moindres qu'un nombre fixe, soit eu la plus grande des limites des termes de cette suite.

La série ^an est convergente si o) est inférieur à un, et divergente si (I) est supérieur à un.

Pour démontrer la première partie, soit i — a un nombre compris entre (o et i. D'après la définition de la plus grande des limites (n** 156), il n'y a qu'un nombre fini de termes de la suite (5) supérieurs à i — a; on peut donc trouver un nombre entier p tel que, pour toute valeur de n

supérieure à />, on ait v^aa<i — a, La série ^an est donc convergenle. Au contraire, si l'on a co > i, soit i + a un nombre compris entre i et eu; il y a une infinité de termes de la suite (5) supérieurs à i + a, et par suite une infinité de valeurs de n pour lesquelles a^ est plus grand que un. La série Jia„ est donc divergente. Il n'y a doute que dans le cas où o) = i.