Théorème de Cauchy. — Lorsque — ^^ ou '(/un tend vers

Tunité, sans être constamment supérieur à un, les règles de d'Alembert et de Cauchj ne permettent pas d'affirmer la convergence ou la divergence d'une série. Il faut dans ce cas prendre pour termes de comparaison d'autres séries jouissant de la même propriété, et de caractère connu. La proposition suivante, que Cauchy a déduite de l'étude des intégrales définies, permet souvent de décider de la convergence ou de la divergence d'une série y lorsque les règles précédentes ne permettent pas de rien affirmer.

Soit f{x) une fonction positive à partir d'une certaine valeur a de j;, allant constamment en décroissant et tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment. 1^ courbe y = 'f (^) est asymptote à l'axe des x^ et l'intégrale définie / (f(x)dx peut tendre

vers une limite finie ou non, lorsque / croît indéfiniment. Cela posé, la série

est convergente si V intégrale précédente tend vers une limite, et divergente dans le cas contraire.

Considérons, en effet, les rectangles construits avec la base un et les hauteurs respectives f(a), (p(a-|-î), ..., (p(a-h/i); ces

38o CHAPITRE VllI. — DEVELOPPEMBNTS EN SERIES.

rectangles étant tous extérieurs à la courbe y = ?(-^)î la somme de leurs aires est évidemment supérieure à Taire de la courbe comprise entre l'axe des x et les deux ordonnées x = a, :r = a -{- /i,

f cp(ir) dx.

Si nous prenons au contraire les rectangles intérieurs construits avec la base un et les hauteurs respectives cp(a H- i), cp(a + 2), . . . , 'f(a-\-n)^ la somme des aires de ces rectangles est moindre que Taire de la courbe, ce qu'on peut écrire

Jr.rtH-/i f o{x)dx.

Cela posé, si l'intégrale / (f(x)dx tend vers une limite L

lorsque /augmente indéfiniment, la somme ?p(a) + . . .-Hç(a-4-/i), restant constamment moindre que <p(a)-|-L, tend vers une limite; la série (6) est donc convergente. Au contraire, si Tinté-

I (f{x)dx croît au delà de toute limite, il en est de même,

d'après la première inégalité, de la somme

la série (6) est donc divergente.

Prenons par exemple cp(x) = — > où [x est positif, et a = i.

Cette fonction 'f(a:) satisfait bien à toutes les conditions de

Jr ' dx f —7 tend vers une limite lorsque / croît j XV"

indéfiniment, pourvu que [jl soit supérieur à l'unité, et dans ce cas seulement. Il en résulte que la série