PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES

le second membre a une limite finie si [jl >> i et augmente indéfiniment si pi<C I • Dans le cas particulier où u. = i, on voit de la même façon que Tintégrale croît au delà de toute limite. La série

est donc convergente si [x >• i , et divergente si [jl^ i . Plus généralement la série dont le terme général est

n Jog/i log* 71 log» 71 . . . log^-' /i(loiç/'/i;l^

est convergente, si Ton a a > i et divergente si o.^ i . On a écrit, pour abréger, log^/i à la place de loglog/i, log'n à la place de

log log Iog/£

Bien entendu on ne donne à l'entier n-que les valeurs assez grandes pour que log/i, log^/i, log'/i, . . ., log/»/i soient positifs, et l'on suppose les termes manquants remplacés par des zéros. On le démontre comme pour les séries précédentes; si, par exemple, on a [JL ^ 1 , la fonction

X loga: log* a? . . . {\o^t*x )V'

est la dérivée de—- — (log^'j:)*"!^, et cette dernière fonction ne

tend vers une limite finie lorsque x augmente indéfiniment que si l'on a jjL > I .

La propositioQ de Cauchy est susceptible d'applications d'un autre genre. La fonction ^{x) satisfaisant toujours au^i conditions énoncées plus haut, considérons la somme

o(/i)-+-o(/i-4-i)-i-...-Ho(/i-^/>;,

où n et p sont deux nombres entiers que l'on fait croître indéfiniment. Si la série, dont le terme g(^néral est ^{n), est convergente, la somme précédente a zéro pour limite, car elle est la différence des deux sommes Sn+p+i et S/i qui tendent Tune et l'autre vers la somme de la série. Mais si cette série est divergente, on ne peut plus rien affirmer. En reprenant la représentation géométrique de tout à l'heure, on parvient à la double inégalité

<p(x)rfj:<^(n)4-o(/i-4-i)-l-...H-o(/i-4-/>)<o(/i)-f- / ^{x)dx\

cominc <p(/i) tend vers zéro lor«que n croît indéfiniment, on voit que la linnite de la somme considérée est la même que celle de Tinté-

' o{x)dx, et elle dépend de la façon dont les nombres n et p

croissent au delà de toute limite.

Par exemple, pour avoir la limite de la somme

Il I

r^'-^P dx / p\

il suffit de chercher la limite de l'intégrale définie / — =Iog(i-+-— J.

Il est clair que cette intégrale n'a une limite que si le rapport — a une

limite; si a est la limite de ce rapport, la somme précédente a pour limite log(i -h a), comme on l'a déjà démontre (n° 49). Four avoir la limite de la somme

il faut de même chercher la limite de l'intégrale

r cix ' —

/ -p^'x{sfn^-^-p — \ln)\

pour que cette expression ait une limite, il faut que le quotient ■A=. ait lui-même une limite a. L'expression précédente peut alors s'écrire

et l'on voit qu'elle a aussi pour limite a.

162. Critères logarithmiques. — Ea prenant comme terme de comparaison la série

Caiichy a été conduit à une nouvelle règle de convergence, tout à fait analogue à celle qui est relative à y/w„ :

I I log —

Si, à partir d^un certain rang, ~\~^~ ^^^ constamment siipé-