I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES
rieur à un nombre fixe plus grand que V unité, la série est
convergente» Si-, -est constamment inférieur à r unité, la
série est divergente.
Lorsque -| tend vers une limite l quand n augmente indéfiniment, la série est convergente si l^ i , e/ divergente si 1<C i . Il y a doute si 1=^ i .
Pour démontrer la première partie, remarquons que de l'inégalité
log— > Alog/i
on déduit
ou
Un
comme l'on a A* ;> i , la série est donc convergente. De même, si l'on a
Iog-1 <log«,
on en déduit Un > - > la série est donc divergenle.
Cette règle permet de reconnaître la convergence d'une série toutes les fois qu'à partir d'un certain rang les termes de celle série sont respectivement moindres que ceux de la série
iV- ' '^\^~^
nV-
où A est un fadeur constant, et (jl > i . Si l'on a, en effet,
Un< -y
on en déduit
log«rt-4- Hilog/i < logA,
ou
iorr
""lin L^^^,
log/i ^ log/i'
et le second membre a pour limite pi lorsque n augmente indéfiniment. A partir d'un certain rang, on aura donc en désignant par K un nombre compris entre un et (jl,
logn
' En prenant de même comme termes de comparaison les séries
^d n{\oç^n)^ ^^ n\o^n{\o^'^n)V^ on obtient une infinité de règles de convergence, qui se déduiront
log^î- log
de la précédente ( * ) en remplaçant dans l'énoncé -, par . ^^ '
nun
^ nUn lopr/i
puis par j — ~ — ^^—9 •••- Ces règles s'appliquent à des cas de
plus en plus étendus; il est facile de s'assurer, en effet, que si Tune d'elles permet de reconnaître la convergence ou la divergence d'une série, il en sera de même de toutes les suivantes. Mais, aussi loin que l'on aille dans la série des essais, il peut se faire que l'application de ces règles ne permette jamais de reconnaître le caractère d'une série. M\I. du Bois-Reymond (*) et Pringslieim C) ont en effet formé des séries, tant convergentes que divergentes^ pour lesquelles les critères logarithmiques ne donnent aucune indication. Ce résultat est d'un grand intérêt théorique, mais les séries convergentes de celte espèce sont évidemment très lentement convergentes et ne paraissent pas susceptibles d'applications au calcul numérique {*).
(*) Voir Bertrand, Traité de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. 238; Journal de Liouville, i^ série, t. VII, p. 35.
(') Ueber Convergenz von Reihen... {Journal de C relie, t. 76, p. 85; 1873).
(^) Allgemeine Théorie der Divergenz... {Afathematische Annalen, t. 35; 1890).
{*) Dans un exemple de série convergente, dû à M. du Bois-Reymond, il faudrait, d'après l'auteur, calculer la somme d'un nombre de termes égal au volume de la Terre exprimé en millimètres cubes pour avoir seulement la moitié de la somme de cette série.
