I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SÉRIES. SgS

d'après une formule de Trigonométrie, à

sin —

sin

sin-

et par conséquent est moindre en valeur absolue que

que la série

sinO sinaO sinnO

sin-

• On en conclut

est convergente, pour toute valeur de 0, et l'on démontre de la même façon que la série

copft COS26 cos/i6

est convergente, sauf pour 6 = 2^:1:.

Corollaire. — On peut énoncer une propriété plus générale, en se bornant aux séries convergentes. Soient

Uo ~f" Mj -f- . . . -4- Ufi -H . . .

une série convergente, et

une suite de nombres positifs, allant toujours en croissant ou en décroissant, et tendant vers une limite A:, différente de zéro, lorsque n augmente indéfiniment, la série

(18) eoMo -+- Êi W|-+-- • --^ £rt"rt-^- • ■

est aussi convergente.

Supposons, pour fixer les idées, que les nombres e/ aillent en croissant; nous pouvons écrire

et les nombres ao, ai, . . ., a/i, . . . forment une suite de nombres positifs décroissants, an tendant vers zéro lorsque n croit indéfiniment. Les deux séries

kuo H- kui -+-... 4- kun -f- . . . ,

OLq Uq •+- OLi Ui -^ , . . -h ût/i Ufi -i- . . .

sont Tune et l'autre convergentes et, par suite, il en est de même de la série (18).