OV

OFt

dFi

du

ds;

dv

du

Oa verrait de même que le rapport — tend vers une limite

dX

du

finie r-y qui est donnée par une formule analogue; pratiquement, on calculera ces dérivées partielles au moyen des deux équations

<^F, dFt du t)F, dv dx du dx dv dx '

<?F, dFi du dFi dv

dx du dx ' dv dx '

(it Ton obtiendra, de la même façon, les dérivées partielles par rapport aux variables y et z.

Pour établir maintenant le théorème général, il suffira de montrer que, si la proposition est vraie pour un système de {n — i) équations, elle est encore vraie pour un système de n équations. Le déterminant fonctionnel A n'étant pas nul, par hypothèse, pour les valeurs initiales, Tun au moins des mineurs correspondant aux éléments de la dernière ligne est différent de zéro pour ces mêmes valeurs. Supposons qu'il en soit ainsi pour le mineur correspon-

dant à --— i qui n'est autre que

le théorème étant exact pour un système de (n — i) équations^ on lire des (n — i) premières équations (E)

les foDctions (p/ étant continues, et, en remplaçant W|, . . ., w„.i par les fonctions »|, . . . , cp,,, dans la dernière des équations (E), on est conduit à une nouvelle relation pour déterminer u^^

Tout se réduit à démontrer que la dérivée -, - n'est pas nulle

pour les valeurs considérées x^^ x?,, . . . , j?" , //JJ; car, s'il en est ainsi, on pourra déduire de cette dernière équation

la fonction à étant continue, et, en portant cette valeur de h„ dans o,. . . . , o„,, on aura également pour u^^ U2, - . . , iht-t des fonctions continues. Or on a