II. - SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. - SÉRIES MULTIPLES

167. Définitions. — Nous indiquerons dans ce paragraphe quelques généralisations de la notion de série. Soit

une série dont les termes sont des quantités imaginaires

cette série est dite convergente^ si les deux séries formées par les parties réelles et les coefficients de i sont séparément convergentes,

(20) «0 ^ « I -f- ûTj — . . . -H a^ ^- . . ,

^21) ba \- bx-r- bi-+ . , .-^ bfi-^ ' ■ "

Soient S' et S'' les sommes des deux séries (20) et (21) : la somme de la série (19) est S = S' -h « S"^ il est évident que cette somme est encore la limite de la somme S^ des n premiers termes de la série (19) lorsque le nombre n augmente indéfiniment. On voit qu'une série à termes imaginaires n'est au fond que l'ensemble de deux séries à termes réels.

Lorsque la série formée par les modules des différents termes de la série (19)

(22) s/cLq-^ ^0"*- V^^î H- ^1-+--. .-H \/aJ-+- ^J-t-. ..

est convergente, il est clair que chacune des séries (20) et (21) est absolument eonvergente, car on a

et

\bn\S>/âîTb\\

la série (19) est dite elle-même absolument convergente. On peut modifier l'ordre des termes d'une pareille série, ou grouper ces termes d'une façon arbitraire, sans changer la somme.

A toute règle permettant d'affirmer qu'une série à termes positifs est convergente correspond une règle permettant d'affirmer qu'une série à termes quelconques, réels ou imaginaires,