II. — SÉRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 4o

entières, positives et négatives, telles que le point (m, n) soit extérieur à F. Dans ces conditions, la série double est convergente lorsque Cintégrale double a une limite, et inversement. Les parallèles aux axes de coordonnées j: = o, ±: i , ±: 2, . . . , etj^z-^o, dii, ±12, ..., décomposent l'aire comprise entre les deux courbes C et F en un certain nombre de carrés et de portions irrégulières. Si nous prenons dans chacun des carrés le sommet le plus éloigné de l'origine, il est clair que la somme Sy(m, n) correspondante sera inférieure à l'intégrale double / I /{x,y)dxdy,

étendue à l'aire comprise entre C et F. Si cette intégrale double tend vers une limite S, lorsque la courbe C s'éloigne indéfiniment, il suit de là que la somme d'un nombre quelconque de termes de la série double est toujours moindre qu'un nombre fixe; cette série est donc convergente. On voit de la même façon que, si la série double est convergente, l'intégrale double est toujours moindre qu'un nombre fixe; cette intégrale tend donc vers une limite* Le théorème s'étend à une série multiple à p indices, sous des hypothèses convenables; le terme, de comparaison est alors une intégrale multiple d'ordre />•

Par exemple, la série double dont le terme général est - — -

les indices m et n prenant toutes les valeurs entières de — 00 à -{- 00, sauf 772 : - /i rzr o, cst convcrgcntc si [JL > i, et divergente si [JLi^i. Car l'intégrale double

/* /* dx dy

^•^^^ J J l-x^^yiyv-'

étendue à la portion du plan extérieure à un cercle concentrique à l'origine, a une valeur finie si [x >• 1 et augmente indéfiniment si [Ji'^i (n« 133).

Plus généralement, la série multiple dont le terme général est

la combinaison /n4=:m2=.. . = mp=^ o étant exclue, est convergente si l'on a 2 [jl >•/?(* ).

(') On trouvera des propositions plus générales dans le Traité d'Analyse de M. Jordan, tome I; p. i63.

4oO CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.