Définition de la convergence uniforme. — Une série

(35) Mo(^) -♦- Wi(^) -!-•••-+- Wn(a:) -h. . .

dont les termes sont des fonctions continues d^une variable ^dans un intervalle (a, è), et qui est convergente pour toute valeur de:r comprise dans cet intervalle, ne représente pas nécessairemenl une fonction continue de cette variable, comme on serait tenté de le croire. Il suffit, pour s'en convaincre, de reprendre la série (^voir n® 4).

dont la somme est discontinue pour x =^ o. Comme un grand nombre de fonctions se présentent en Analyse sous forme de séries, on a dû étudier les propriétés des fonctions représentées de cette façon et la première question qui se présente est précisément de chercher à reconnaître si la somme d'une série est une fonction continue d'une variable. Quoiqu'on ne possède pas de solution générale de ce problètne, son élude a conduit à une notion extrêmement importante, celle de la convergence uniforme.

On dit qu'une série, telle que (35), est uniformément convergente dans un intervalle (a, b) si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre entier positif n tel que la valeur absolue du reste R/{ de cette série

soit moindre que e pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (a, b), La condition que le nombre /i, qui correspond à une valeur donnée de e, soit le même pour toutes les valeurs de X de l'intervalle (a, 6), est essentielle dans cette définition. Pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, il est certain qu'il existe un nombre entier n satisfaisant à la condition que R;, soit moindre que e, mais rien ne prouve a priori que^ pour une valeur donnée de /i, aussi grande qu'on la suppose, le reste R„