III. ~ SÉRIES A TERMES VARIABLES

reste constamment plus petit que e en valeur absolue» lorsque x varie de a à 6, Ainsi, pour la série considérée tout à l'heure, on a

R,j(j7) z= -* pour a:<o;

la série n'est pas uniformément convergente dans l'intervalle (o, i), car il est impossible de trouver un nombre entier n tel que l'on ait Kn{x) <C e, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i. L'importance des séries uniformément convergentes provient de la propriété suivante :

La somme d'une série uniformément com^ergente dans un intervalle (a, é), dont les termes sont des fonctions continues d'une variable x dans cet intervalle, est elle-même une fonction continue de cette variable.

Soit Xq une valeur de x comprise entre a et 6, et Xo-f- A une valeur voisine, comprise aussi entre a et b. Choisissons un nombre n assez grand pour que le reste R/i(a;)

soit moindre que 5 en valeur absolue pour toutes les valeurs de x

de rintervalle (a, b), e désignant un nombre positif donné à l'avance, aussi petit qu'on le voudra. Soit /(a:) la somme de la série convergente considérée; on peut écrire

en désignant par ^{x) la somme des n -h 1 premiers termes

«p(a7) = Uo(x)-^ Ui(x) ■»-...-+- Un(x), Des égalités

/(xo-+-A) = ^(xo-hk)-i- Rrt(rro-f-/i), on tire, en les retranchant membre à membre,

f(Xo-^ h)—f(xo) = [o{xo-hh) — (p(a'o)]-h Hn{xo-^-h)-- R«(a?o);

le nombre n ajant été choisi de cette façon, on a déjà

4o8 CHAPITRE VIII. — DËVELOPPEUENTS EX SÉRIES.

D*autre part, puisque les différents termes de la série sont des fonctions continues de x^ f (^) ^st aussi une fonction continue et Ton peut trouver un nombre positif t^ tel que l'on ait

|«p(iro-+-/t) — <p(a:o)| < y pourvu que | A| soit <[ r^. On aura donc, a fortiori^

pour toutes les valeurs de h moindres que T] en valeur absolue, ce qui montre bien que la fonction f{x) est continue pour x = x©.

Remarque. — Il paraît au premier abord 1res difficile de reconnaître si une série est uniformément convergente dans un intervalle. La proposition suivante permet, dans bien des cas, d'affirmer qu'il en est ainsi. Soit

(36) ao(^)^- Mi(a?)H-. . .4- M,i(:r) -+-...

une série dont les termes sont des fonctions continues de x dans un intervalle (a, b)\ soit, d'autre part,

(37) Po -^- ^'i H- . . • -1

une autre série convergente dont les termes sont des nombres positifs constants. Si, pour toutes les valeurs de x de l'intervalle (a, b) on a, quel que soit /i, \un\ <i ^//? ïa première série (36) est uniformément convergente dans cet intervalle. Il est clair, en effet, qu'on a, pour toute valeur de x comprise entre a et 6,

et il suffira de prendre n assez grand pour que le reste correspondant de la seconde série soit moindre que e, pour que l'on ait, quel que soit X oans l'intervalle (a, 6),

Par exemple, ^'o? ^i? ^'2f • • • ayant toujours la même signification,

la série

VQ-h Vi sina: H- v^ sin2:r -h. . .-+- v„ s'innx -+-. . .

est uniformément convergente dans tout intervalle.