ÉRIES A TERMES VARIABLES

174. Intégration et différentiation des séries. — Une série uniformément convergente peut être intégrée terme à terme.

Soient x^^ x^ deux valeurs de x comprises entre a et é, et n un nombre entier tel que|R/j(x)| << e pour toutes les valeurs Aex de cet intervalle. On peut écrire

et par suite

f f(x)dx— I Uo(x)dx-\~ I Ui(x) dx -T- . . .

JT.

-h I Un{x)dx-h I Rn{^)clx;

K„{x)dx est moindre que -• e|^i — ^o| et, par conséquent, peut être rendue plus petite que

tout nombre donné, pourvu que Ton prenne n assez grand. Il

s^ensuit que l'on a

f{x)dx= j Uo(x)dx-r' j Ui(x)dx'^...-h I Un{x)dx-^...;

si laissant Xq fixe, on considère x^ comme variable, on a une série

Jf Uo(x)dx -i-, . .-+■ j Un^xjdx-^..,

qui est convergente dans IMntervalle (a, 6) et dont la somme admet pour dérivée y(rr).

De même, une série peut être dlfférentiée terme à terme /?OMrt^« que la série des dérivées soit uniformément convergente.

Soit

une série convergente dans Tintervalle (a, b)\ supposons que la série formée par les dérivées est uniformément convergente dans le même intervalle, et désignons par ^{x) la somme de cette nouvelle série

* dx ~^ dx " dx

4lO CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIKS.

En intégrant terme à terme entre deux limites Xq et x^ comprises entre a et 6, il vient

(f(x)dx = [Uo(x) — Uo(Xo)] -h [Ui(x) — Ui(Xo)]-^.. .,

c'est-à-dire

/ tf{x) dx =f{x) — /(iPo),

relation qui montre que ^{x) est la dérivée de/(x).

— dx ne peut s'exprimer par

une combinaison en nombre fini de fonctions élémentaires; écrivons-la comme il suit

— dx = I h I dx = logar -f- / dx.

On peut trouver pour la dernière intégrale un développement en série valable pour toute valeur de ^; on a, en efl'et,

e^ — I X x^ rr'»-*