II» , — =—-•—:-...-- ' -H

rrivees relations

et les dérivées - - , -» •••> ;-— sont données par les n — i

fftt,^ On, OUn *■

dux du,i ' ' ' ' Outi-x Ou,i âUfi

I dFn^i d-Sj^ ^ ^ ÔF„ , à^n-\ '^F/,| ^^ . âui ôn,i ' ' ' ' ' OUf,-i Ou a dit,i '

on peut considérer les relations (11) et (ii>. ) comme n équations linéaires en -"=—»•• ., * > , • et 1 on en tire

f)li„ Ou a Ou,i

OUn D(a,, Wj, ,.., Un-\) t>(«i, Mj, ..., Un)

5S CHAPITRE II. — FONCTIONS IlIPLICITBSi ETC.

La dérivée - — n'est donc pas nulle pour les valeurs iniliales

dUn ^ ^

et, par suite, le théorème général est démontré.

Les dérivées successives des fonctions implicites définies par plusieurs équations simultanées se calculent comme dans le cas d'une seule équation. Il faut encore observer que, lorsqu'il y a plusieurs variables indépendantes, il est avantageux de calculer les différentielles totales, pour en déduire toutes les dérivées partielles du même ordre. Supposons, par exemple, qu'on ait deux fonctions uelv des trois variables x, y, z, définies par les deux

relations

*(-2^»7> -Si "» i') = o;

les différentielles totales du premier ordre du et dv sont données par les deux équations

d¥ ^ ô? , ô¥ ^ dF , dV ^

-r- dx -h -T~ dy -h -r dz -^- —- du -\ — -- dv = o,

ôx vy ôz du àif

-T— a-c -h -,- dy -+- -,— dz -+- ,- du -h -.- dv = o.

OX dy Oz Ou Ov

On aura ensuite d'^u et d^v au moyen des équations