III. — SÉRIES A TERMES VARIABLES. 4ll

Le produit e'sin'op est compris entre o et e'<l, de sorte que le radical est égal à ]a somme de la série, obtenue par la formule du binôme

i/i — e*sin*© = I tf*sin*« ; c^sin^cp — . . .

et la série du second membre est uniformément convergente, car ses termes sont moindres en valeur absolue que ceux de la série obtenue en faisant sinç = 1. On peut donc intégrer terme à terme et en observant que Ton a (n** 116)

r • .« j 1 .3.5.. .(9./1 — 1) iz

I sin"*cpa9 = ;— H -

jl vient

Si Texcentricité e est très petite, il suffit de prendre un petit nombre de termes dans le second membre pour avoir la valeur de Tintégrale avec une grande approximation.

On peut, de la même façon, développer en série Tintégrale

1 y/i — e^sin*© d^y '0

quelle que soit la limite supérieure ^. Nous citerons encore la formule

* rf© it l 1.9.

ri.3.5...(2/i-i)i«^,„ 1 .. j

qui donne le développement de Tintégrale complète de première espèce de Legendre.

La définition de la convergence uniforme s'étend aux séries dont les termes sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, et aux séries multiples. Par exemple, soit

une série dont les termes sont des fonctions continues des deux variables x, y, et qui est convergente lorsque le point (x, y) reste à Tîntérieur d'un contourC On dira que la série est uniformément convergente dans ce domaine, si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre n tel que la valeur absolue du reste R,j soit moindre que e pour tout point {œ, y) intérieur au contour C, et l'on démontrera comme plus haut que la somme de cette série est une fonction continue des variables x et y dans ce domaine. Le théorème sur l'intégration se généralise aussi ^ si/(^, y) est la somme de la série précédente, on a

j f f{^^y)d^dy = I I Ufi{x,y)dji:dy-^ j 1 U\{Xy y) dx dy -^- . . .

-^ j j ihi(o^,y)dxdy -r-...,

toutes les intégrales doubles étant étendues à Taire intérieure au contour C.

De même une série double dont les termes sont fonctions d'une ou plusieurs variables, et qui est absolument convergente lorsque ces variables restent comprises dans un certain domaine, est dite uniformément convergente si Ton peut prendre un nombre de termes assez grand pour que la valeur absolue de la somme des termes négligés soit moindre qu'un nombre positif e, pour tous les systèmes de valeurs des variables considérées. Les propriétés établies plus haut s*étendent sans difficulté, quel que soit le nombre des variables indépendantes, et aussi quel que soit le nombre des dimensions de la série.

Remarque, — Lorsqu'une série n'est pas uniformément convergente, on ne peut pas toujours l'intégrer terme à terme; en voici un exemple. Posons

Srt(a7) = /ixc-"-»', So(ar) — o, W/t(^) = Sn— Sn-i (n = i, !a, . . .");

la série dont le terme général est u„(x) est convergente et a pour somme zéro, car Sn{x) tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. On peut donc écrire

f{x) = O = Ui{x) -h .Ui(x) -h. ..-^ Un(x)-h" '

et par suite f f{x) dx = o. D'autre part, si l'on intègre la série terme

m. — SERIES A TERMES VARIABLES. 4l3

à terme entre les limites zéro et un, on obtient une nouvelle série dont la somme des n premiers termes a pour valeur

et cette somme a pour limite - lorsque n croît indéfiniment. Cet exemple est dû à M. Osgood.