Application à la di£férentiation sous le signe /. — I^a
démonstration, donnée plus haut, de la formule de difTérentiation
sous le signe / suppose essentiellement que les limites Xq et X
sont finies (n" 97). Si X est infini, on n'a pas toujours le droit d'appliquer la formule. Prenons, par exemple, l'intégrale
cette intégrale ne dépend pas de a, car, si on fait le changement de variable olx --- y-i elle devient, en supposant a !> o,
En appliquant à l'intégrale F(a) la formule ordinaire de difTérentiation, on arrive à l'égalité
'(a) r= 1 c.o^oLX dx,
dont le premier membre est nul, tandis que le second membre n'a pas de valeur déterminée.
On peut trouver des conditions suffisantes pour qu'on ait le droit de dilTérentier par la formule habituelle, même lorsqu'une des limites est infinie, en rattachant la question à l'étude des séries. Considérons d'abord une intégrale
f(,x)dx.
que nous supposons avoir une valeur déterminée. Soient aj, a^'t •••9 ci/n ••• ^^^ suite indéfinie de nombres plus grands
4l4 CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.
que Oq, allant conslammenl en croissant, de telle sorte que On augmente indéfiniment avec n. Posons
f{x)dx, ...;
la série
Uo-hU|-+- Uj-^...-t- U«-h. . .
^5/ convergente et a pour somme f f{^) dx^ car la somme S«
f /(.r) dx.
Il est à remarquer que la réciproque n'est pas toujours vraie. Prenons, par exemple,
y{x) = cosXf «0=0, at = TZf ..., a/i=/i'it, ....
nous avons
cosx dx = o;
nie
la série est donc convergente, tandis que l'intégrale ne tend vers aucune limite.
Soit maintenant /{x^ a) une fonction continue des deux variables X et a, lorsque x est supérieur à ao et a compris dans un
intervalle (ao, a^). Si l'intégrale / /(x^ cL)dx tend vers une
limite lorsque / augmente indéfiniment, quelle que soit la valeur de a, celte limite est une fonction de a,
que l'on peut remplacer, comme on vient de l'expliquer, par la somme d'une série convergente dont les termes sont des fonctions continues de a,
F(a) = Uo(a)-^U,(a) -+-... ^U„(a) 4-..., ^'o(«)= f /(^, a)c/^, Ui(a)= f */ix,a)dx,
m. — SÉRIES A TERMES VARIABLES. 4^^
Celle fonction F(a) est continue, pourvu que la série soit uniformément convergente. Par extension, nous dirons que Vin-
tégrale j /{^^ cL)dx est uniformément convergente dans
rinlervalle (a©, ai) si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre N tel que l'on ait, pour toute valeur
de />N,
dx
<. e, quel que soit a dans l'inter-
valle (ao, «i). Si l'intégrale est uniformément convergente, il en est de même de la série, car si l'on prend a«> N, on aura
f f{x, a) dx
la fonction F(a) est donc continue dans l'intervalle (ao, a»),
[ ^ dx ait une valeur
Gnie pour toute valeur de a comprise dans l'intervalle (a©, ai), et qu'elle soit uniformément convergente dans cet intervalle; on peut aussi la représenter par la somme d'une série
f ^û?^ = Vo(a)-t-Vi(a)-t-...-^-V„(a)^-.... où
V 0 = I ~r— CiXj • • • t » rt — - I "\~ ClXf • . • •
La nouvelle série est uniformément convergente et ses termes sont égaux respectivement aux dérivées des termes de la première. On a donc, d'après le théorème qui a été démontré sur la différentiation des séries,
c'est-à-dire que la formule de différentiation sous le signe /
s'applique encore, pourvu que l'intégrale qui figure au second membre soit uniformément convergente.
