Exemples. — i** Reprenons l'intégrale du n

ftin.T , e-ax ^x

4j4 chapitre VIII. — DéVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

que ao, allant coDStamment en croissant, de telle sorte que an augmente indéfiniment avec n. Posons

Uo= r 'f{x)dx, U,= r Ax)dx,

f{x^dx, la série

Uo -+- U 1 H- U j -+- . . . -4- U,t -h . . .

est convergente et a pour somme f /{^) dx, car la somme S/,

[ /{x)dx.

Il est à remarquer que la réciproque n'est pas toujours vraie. Prenons, par exemple,

nous avons

cosx dx = o;'

la série est donc convergente, tandis que Tinlégrale ne tend vers aucune limite.

Soit maintenant /{x, a) une fonction continue des deux variables X et a, lorsque x est supérieur à ao et a compris dans un

vers une

intervalle (a©, a^). Si l'intégrale / f{x^ 0L)dx tend

limite lorsque /augmente indéfiniment, quelle que soit la valeur de a, celte limite est une fonction de a,

F(«)= f Ax,a)dx,

que l'on peut remplacer, comme on vient de l'expliquer, par la somme d'une série convergente dont les termes sont des fonctions continues de a,

F(a) = Uo(a)-hUi(a)4-...-4-U«(a)-+-..., Uo(«)= f '/(x,a)dx, Ui(a)= f*/{x,a)dx,