III. — SÉRIES A TERMES VARIABLES

Celte fonction F(a) est continue, pourvu que la série soit uniformément convergente. Par extension, nous dirons que /'m-

tégrale 1 /{^^ 0L)dx est uniformément convergente dans

l'intervalle (ao, «i) si à tout nombre positif e on peut faire correspondre un nombre N tel que l'on ait, pour toute valeur

de />N, 1 / f{x^ 7.)dx

<. e, quel que soit a dans l'inter-

valle (ao, a<). Si l'intégrale est uniformément convergente, il en est de même de la série, car si l'on prend «/,> N, on aura

|R«I=- / f(a;,a)dx

où

la fonction F(a) est donc continue dans l'intervalle (ao, a^). Cela posé, supposons que l'intégrale / a' ^^ ^'^ ^'^^ valeur

finie pour toute valeur de a comprise dans l'intervalle (ao, ai), et qu'elle soit uniformément convergente dans cet intervalle; on peut aussi la représenter par la somme d'une série

La nouvelle série est uniformément convergente et ses termes sont égaux respectivement aux dérivées des termes de la première. On a donc, d'après le théorème qui a été démontré sur la difTérentiation des séries,

c'est-à-dire que la formule de diflerenliation sous le signe /

s'applique encore, pourvu que l'intégrale qui figure au second membre soit uniformément convergente.