Exemples. — i" Reprenons l'intégrale du n

c-ow: dx

4l6 CHAPITRE VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SERIES.

OÙ CE est positif. L'intégrale obtenue en différentîant

e-o"^ sina? dx

est uniformément convergente pour toutes les valeurs de a supérieures à un nombre positif k. On a en effet

e-owrsina? dx

et il suffit de prendre / assez grand de façon que Ton ait Ac*' > - pour que

la valeur absolue de cette intégrale soit inférieure à s, lorsque a est supérieur à k. On a donc

F'(a) = — / e-a^sina- ^.r;

l'intégrale indéfinie a déjà été calculée (n** 119) et l'on trouve

on tire de là

F(a) = G — arc tanga,

et l'on détermine la constante G en remarquant que l'intégrale définie F(z)

tend vers zéro lorsque a croît indéfiniment, ce qui donne G = -• On a donc en définitive

sina7 , 1

g-ax fix = arc tanc-

Gette formule n'est établie que pour les valeurs positives de a, mais on a vu plus liaut que le premier membre est la somme d'une série alternée

dont le reste R,» est toujours inférieur à --• Gette série est donc uniformément convergente, et l'intégrale est une fonction continue de a, même pour a = o. En faisant tendre % vers zéro, on a donc à la limite

-»-ao

sina?

dx =

2° Si, dans la formule du n° 134,

e-^' dx =