I. — SÉRIKS KNTlèRKS A UNE VARIABLE

série (i)

or la série (i) étant convergente pour X .= R', puisque R'<;R, on peut prendre le nombre n assez grand pour que Je reste précédent soit plus petit qu'un nombre positif donné £. On aura donc |R«| < e, pourvu que l'on ait '^] <C R'.

Il suit de là que la somme f{x) de la série est une fonction continue de x^ pour toute valeur de la variable comprise entre — R ^/ -h R. En effet, étant donné un nombre Xq^ plus petit que R en valeur absolue, il est évident qu'on peut trouver un autre nombre positif R', inférieur à R, et supérieur à |^o|- D'après ce qu'on vient de voir, la série est uniformément convergente dans l'intervalle de — R' à -1- R'; la somme f{x) est donc continue pour la valeur Xq qui appartient à cet intervalle.

La démonstration ne s'applique plus aux limites -f- R et — R de la région de convergence. La continuité subsiste cependant, pourvu que la série soit convergente. Abel a démontré en effet que si la série (3) est convergente pour x -— R, la somme de cette série est la limite vers laquelle tend la somme de la série /(x) lorsque x tend vers R en étant inférieur à R.

Désignons par S la somme de la série convergente

S — ao-4- a,R -T- ajR2-^. . . i- a^K" — . . .

et soit n un nombre entier tel que la valeur absolue de l'une quelconque des sommes

a,i+i R'»^!, an^i R«+» H- a„-HiR" -

an^i R'»-^» -+-... — rt«^/,R«+^/', . . .

soit inférieure à un nombre positif donné e. En posant :z: = R6, et faisant croître 6 de o à i^ x croîtra de o à R, et l'on aura

/(x)=/(^R) r:r ao-ha,eRH-rt20îR2-f-...-^-a„e«R«-h...;

nous pouvons écrire, le nombre n ayant été choisi comme il vient d'élre dit,

/ S —/(a:) rrz a, R(i — G) -^ a, R»(i — 0^) -:- . . .-ha,, R«(' — ^'*) (4) ! H- a«^, R«-^»-r-.. .-^ «,,.+-;, R'»-^/' H-.. .

Diaprés la façon dont on a pris le nombre n, la somme de la série qui est sur la deuxième ligne est plus petite que e en valeur absolue. D'un autre côté, les nombres 6«+*, 6"+^, ..., 0"+^ forment une suite décroissante; on a donc, d'après le lemme d'Abel déjà employé (n° 75),

a„-Hi e«+ï R«^« -f- . . . -r- On-t-p 0«+P R«+^ I < 6«+» e < e

et, par conséquent, la somme de la série qui est sur la troisième ligne est aussi inférieure à e en valeur absolue. Considérons maintenant la première ligne de la formule (4); c'est un polynôme de degré /i en 6 qui est nul pour 6 = i. On peut donc trouver un autre nombre positif r^^ tel que la valeur absolue de ce polynôme soit moindre que e pourvu que 8 soit compris entre i — r^ et l'unité. Pour toutes ces valeurs de 6, on a, par conséquent,

or e est un nombre positif arbitraire '- f{x) a donc pour limite S lorsque x tend vers R.

On voit de la même façon que, si la série (3) est convergente pour X = — R, la somme de cette série pour x =^ — R est la limite vers laquelle tend la somme y(jf) lorsque x tend vers — R. Il suffit du reste de changer x en — x pour être ramené au premier cas.

Application. — Cette proposition permet de compléter le théorème établi plus haut (d° 168) sur la multiplication de deux séries. Soient

( 5 ) S = Mo -^- Wi -H «1 -f- . . . -4- a« -4- . . . ,

(6) S'— t^o -»- <^l -^ ^J -t-. . .-r- t'rt H-. . .

deux séries convergentes^ dont aucune n'est absolument convergente, la série obtenue par la règle de multiplication

peut être convergente ou divergente; mais, si elle est convergente, sa somme £ est égale au produit des sommes des deux premières séries, 2 = SS'. Considérons, en effet, les trois séries entières

f(x) = Uo -{- UyX -h. . .-h Un^^-^' ..,

çp(ar) = i^o -H i'iar -h. .4- (^rta?» -h. . .,