SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

oes séries sont convergentes, par hypothèse, pour a: = i, et, par suite, sont absolument convergentes lorsque x est compris entre — i et -4-i. Pour ces valeurs de ar, le théorème de Gauchy sur la multiplication des séries est applicable et nous donne la relation

or, lorsque x tend vers runité,/(a7), cp(a7), ^{x) ont respectivement pour limites, d'après le théorème d'Abel, S, S' et 2i. Les deux membres de la formule (8) restant constamment égaux, on a donc, à la limite, £ = SS'. Le théorème est encore vrai pour les séries à termes imaginaires et s'établit de la même façon.

179. Dérivées successives d'une série entière. — En difTéreoliant terme à terme une série entière

convergente dans l'intervalle ( — R, -H R), on obtient une nouvelle série entière

qui est convergente dans le même intervalle. Il suHi{, pour le prouver, de montrer que la série des valeurs absolues

Ai-h aAjXH-. . .-h /iA/|X«-*-i-. . .

est convergente si X <I R, et divergente si X >> R.

Pour démontrer la première partie, supposons X <; R, et soit R' un nombre compris entre X et R, X<< R'<!R- La série auxiliaire

R' "'" R' R' "^ R' VR7 -^'"^ R'VRV "*"*•*

est convergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour

limite un nombre ^y inférieur à l'unité. En multipliant les difle-

renls termes de celte série par les facteurs

qui sont tous plus petits qu'un nombre fixe, puisque R' <!R, il est évident que la nouvelle série obtenue

At - '2 Al X -H . . . -T- n A„ X"-* -t- . . .

est encore convergente.

4'if> CHAPITRK IX. - .sÈKIliS ENTIÈRKS. SBRIES TRIGONOM ÉTRIQUÉS.

La seconde partie se démontre de même. Si la série

où Xi est supérieur à R, était convergente, il en serait de même

de la série

Al X 1 -r- x Aj X } -f- . . . -*- n Art Xy -h . . .

et par suite de la série \]A,|X" qui a ses termes plus petits que

ceux de la précédente. Le nombre R ne serait donc pas la limite supérieure des valeurs de X qui rendent la série (i) convergente. La somme yi(j?) de la série entière (9) est une fonction continue de la variable dans le même intervalle. Cette série étant uniformément convergente dans tout intervalle ( — R', -r- R'), où R'<! R, représente la dérivée de/(^) dans cet intervalle (n° 174). Comme le nombre R' peut être pris aussi rapproché de R qu'on le veut, on en conclut que la fonction f{x) admet, pour toute valeur de x comprise entre — R et -f- R, une dérivée qui est représentée par Ja série obtenue en dif}<érentiant terme à terme

En raisonnant sur cette série entière comme on a raisonné sur la première, on en conclut que f{x) admet une dérivée seconde

et ainsi de suite. La fonction /{x) admet, dans l'intervalle [ — R, -h R), une suite illimitée de dérivées qui sont représentées par les séries obtenues en différentiant terme à terme

(11) f^"^{x) — i ,'1. . . nan-r-1.3. , . n{n ~r- i)a„^ix — . . ..

Si Ton fait dans ces formules j? ^^ o, il vient

fio)

et, d'une manière générale,

de sorte que le développement de /{x) est identique au dévelop-