I. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIARLE

pement que fournirait la formule de Maclaurin

Les coefficients ao, ai, ,,,j an étant égaux, à des facteurs numériques près, aux valeurs que prennent la fonction /(a:) el ses dérivées successives pour ^ = o, il est clair que le développement d'une fonction en série entière ne peut être possible que d'une seule manière.

De même, en intégrant terme à terme une série entière, on obtient une nouvelle série entière, avec un terme constant arbitraire, qui est convergente dans le même intervalle que la première, et l'admet pour dérivée. En intégrant de nouveau, on obtiendra une nouvelle série dont les deux premiers coefficients seront arbitraires, et ainsi de suite.

Exemples. — i® Pour toute valeur de x comprise entre — i et -^ 1 , la progression géométrique de raison — x

I — a: -f- iP* — arS-h. . .H- ( — i)nar'»H-. . .

est convergente et a pour somme • En intégrant terme à

terme entre les limites o et x, où | j^j <; i , on retrouve le développement de log(i -r- x) (n® 49)

log(n-a7) = 1-— — ...-h (— I)'» h...,

et la formule est encore vraie pour j: = i , puisque la série qui est au second membre reste convergente pour x =r i .

2" Pour toute valeur de x comprise entre — i et H- i, on a aussi

= I — x'^-^ x* — x* -T- . . . -t- /^^ — I )« ar*'» H- . . . ;

en intégrant terme à terme entre les limites o et a:, où 'jr| < i, il

vient

arc tanga: = o" "^ "ë . . .-^ ('— i)'* -

La série restant convergente pour a; = i , on en conclut l'égalité

ir II I / \n '

.'i" Soit F(x) la somme de la série convergente

OÙ m est un nombre quelconque, et où ]x| <C i. On en déduit

p./^v ^r, ^^"^ ^^ , (m^i)...(m-/?-^i) ^^^^ , 1. r (x) = m\i-'. X -h. . ,-\ — ; xP ^-^. . . I ;

si Ton multiplie les deux membres par (i -h a:) et qu'on réunisse les deux termes qui contiennent une même puissance de x, il vient, d'après l'identité

\ ,%...( p — l) 1 .1. . ,p l.'Jt.../;

qu'il est facile de vérifier,

{i-\-x)¥\x) = m iH

H ^ 1 ^^ il L xP H-

c'esl-à-dire

(n-^)F'(a7) = mF(a7).

On déduit de là successivement

log[F(a:)] = /nlog(n-a7) -+- logC,

c'est-à-dire

Pour déterminer la constante C, il suffit de remarquer que Ton a F(o) = I, ce qui donne C = i, et nous retrouvons le développement de (i H- x)"^ (n° 50)

(n-a7)'" = i-< 07-+-... H i î c : xP-^

4** Remplaçons, dans la formule précédente, x par — x^^ m par -; Il vient

= IH- - a?* H ; a?* -i- ... H — tH a?*»