I. — SÉRIES ENTIERES A UNE VARIABLE
formule qui est valable pour loule valeur de x comprise entre — i et -h I . En intégrant les deux membres entre les limites o et j:, où x\<^iy on obtient le développement de arc sin^ :
X i T^ 1.3 ar* i.3.'>...(2/i — I) a:"»-^» arcsina:= h- —H ; -— -^..,-\ -—H h
1 80. Extension de la formule de Taylor. — Soient/(^) la somme d'une série entière convergente dans l'intervalle ( — R, -h R), a;© un point de cet intervalle, et Xq H- A un autre point du même intervalle, tel que|a;o|H-|A|<; R.La série qui a pour sommey*(a:o-+- h)
peut être remplacée par une série à double entrée, que l'on obtient en développant les diverses puissances de Xo~\- h et écrivant sur une même ligne les termes de même degré en h
■+■ Aih -haaia^oA-T-. . .-i- /iana7j~* A-h. . .
* H- a, A» -^...^ ^^ a„ arj-* A »-*-.. .
Cette série à double entrée est absolument convergente; en elTet, si Ton remplace chaque terme par sa valeur absolue, on a la nouvelle série à double entrée et à termes positifs
/ Ao-4- Ai|a?o| -f- Aj|a7o|* -h. . .-f- A„|a7o|'*-i-. . .
-h Ai|/i| -h2A,|a?o||A|-+-...-f-/iA»|a7o|'»-*|^l -^- • •
-+- A,|A|* -i-...-i ■ ■ A„|aroI«-*|A|»H-...
Si l'on fait la somme des éléments de ce tableau par colonnes verticales, on obtient la série
Ao-H Ai[|aroI -l-|A|J -f-...-+-Art[|a7o| -H [A|]«-i-...
qui est convergente puisqu'on suppose |.roj -i-|A|<!R' On peut donc faire la somme des éléments du tableau (12), soit par lignes, soit par colonnes. En faisant la somme par colonnes, on retrouve/( a:© -I- A); en faisant la somme par lignes horizontales, le résultat est ordonné suivant les puissances de h et les coefficients
43o CHAPITRE IX. — 8ÉBIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOM ETRIQUES.
tie A, A^, . . . sont respectivement/'(a:o), > ... Nous pou-
vons donc écrire, en supposant |A| •< R — |^o|)
La formule (i4) s'applique certainement dans l'intervalle de Xq — R-|-|^o| à a:o-^-R — l^olî maïs il peut se faire que la série qui est au second membre soit convergente dans un intervalle plus étendu. Considérons par exemple la fonction (i -r-x)^^ où m n'est pas un nombre entier positif; le développement suivant les puissances de x est valable de :r = — i jusqu'à a: = -r i . Soit x^ une valeur de x comprise dans cet intervalle, nous pouvons écrire
(i -+-a7)"» = (\-^ Xq-\- X — aro)"* = (i-t- aro)'"[i ^ z]
OU
X — aTo
et développer (i-f-^)'" suivant les puissances de :;. Ce nouveau développement sera valable pourvu que l-s] <; i, c'est-à-dire pour les valeurs de x comprises entre — i et i 4- iXq. Si x^ est positif, le nouvel intervalle est plus grand que le premier ( — i, -[- i) el, par conséquent, la nouvelle formule permettra de calculer la valeur de la fonction pour des valeurs de la variable situées en dehors de l'intervalle primitif. En approfondissant cette remarque, on est conduit à une notion extrêmement importante, celle du prolongement analytique, dont nous réservons l'élude pour le Volume suivant.
Remarque, — Les propriétés établies pour les séries ordonnées suivant les puissances positives d'une variable x s'étendent évidemment sans difficulté aux séries ordonnées suivant les puissances positives de ^ — a et, plus généralement, aux séries ordonnées suivant les puissances positives d'une fonction continue (juelconque o{x)\ il suffit de les traiter comme des fonctions composées, la fonction intermédiaire étant ©(a:). Ainsi, une série
ordonnée suivant les puissances positives de - est convergente
pour les valeurs de x dont la valeur absolue dépasse une certaine
