I. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

limite, et représente une fonction continue pour toutes ces valeurs

(Je la variable. Considérons, par exemple, la fonction \Jx^ — a, que

nous pouvons écrire ± x\\ -A ; pour des valeurs de x dont

la valeur absolue est supérieure à y/a, ( i — ^ ) peut être développé suivant les puissances de ~> et l'on obtient ainsi la formule

si'.

jc^ — a = X

x^ la I a* 1 .2.3. . . (2)t> — 3) aP

'XX 2.4^^ '2.4.6...2/> x^P-^ " '

qui donne le développement de ^x'^ — a, lorsque a: est >sja^

Lorsque j? << — \/a, la série est encore convergente et a pour

somme — ^x- — a. Celte formule peut servir à trouver le développement de la racine carrée d'un nombre entier, lorsque l'on connaît le carré parfait immédiatement supérieur.

181. Fonctions majorantes. — Les propriétés déjà démontrées établissent une grande analogie entre les polynômes et les séries

entières. Ltant données plusieurs séries entières/i (a;), y"2(^)> • • •» fn{^)^ soit ( — r, H- r) la plus petite des régions de convergence de ces séries; pourvu que \x\ <C r, ces séries sont absolument convergentes et l'on peut les combiner par addition et multiplication, comme des polynômes. D'une façon générale, tout polynôme entier en f\{x), /i{^)^ ■ ••? fn{x) peut être développé en une série entière convergente dans le même intervalle.

Pour étendre ces propriétés, nous définirons d'abord certaines expressions, qui seront employées par la suite. Soit f{x) une série entière

f{x) — a^-r- n^x -T^ a^x--^. . .— On^" -^ . . •

et '^{x) une autre série entière convergente dans un intervalle convenable

dont tous les coefficients a, sont positifs. On dit que la fonction o(^x) est majorante pour la fonction y(j7) si l'un quelconque des coefficients a,, est supérieur à la valeur absolue du coefficient

correspondant de/(^)

d'après une notation proposée par M. Poincaré, on indique ainsi cette relation entre les deux fonctions /(^) et <p(^) :

L'utilité des fonctions majorantes dans les raisonnements tient à la propriété suivante, qui est une conséquence immédiate de la définition. Soit P„(aoi ^u ••• ^n) un polynôme dépendant des n -h I premiers coefficients de f{x)y et dont les coefficients sont réels et positifs; si Ton remplace dans le polynôme a^, ai, ... a/s par les coefficients correspondants de la fonction majorante 'f (^), on a évidemment

|P(ao, ai, . . ., a»)!^ P(ao, «1, ...la»).

Par exemple, si 'f (^) est une fonction majorante poury(j:), la série qui représente [f (^)]* sera majorante pour [/(^)]*i . » . et, en général, [©(^)]'' sera majorante pour [/(^)]"- De même, si o et Çi sont des fonctions majorantes pour/ et /i respectivement, le produit co^pi sera une fonction majorante pourri, ....

Étant donnée une série entière f{x) convergente dans l'intervalle ( — R, + R), la recherche d'une fonction majorante est un problème d'une grande indétermination. Mais il y a intérêt, pour la suite des raisonnements, à choisir une fonction majorante aussi simple que possible. Soit r un nombre positif inférieur à R, mais aussi voisin de R qu'on le voudra. La série étant absolument convergente pour A' r= r, soit M la limite supérieure de la valeur absolue des termes de cette série; on a, quel que soit /i,

A„r«<M, ou

La série dont le terme général est M — » c'est-à-dire