II. — SERIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

OÙ

Pq = I » Pi = arj Pj = y • • • »

Pn étant un polynôme de degré n en x. Ces polynômes se déterminent de proche en proche par une loi de récurrence. En diiïérentiant la formule précédente par rapport à z, il vient en effet

'■ 3- — Pi -4-2 Pî 5 -h... -h 7lP/i^«-»-h. . .,

(l — 7.XZ -h ^*)*

ce qui peut s'écrire, en tenant compte de la formule (3]) elle-même,

(a?— z)(PoH- Pi^+...-f- P„5«H-.. .) = (l — 9.XZ -f-^»)(Pi-f-2Pi^-h...);

égalons les coefficients de z" dans les deux membres, et nous trouvons la relation de récurrence

(71 -M) P,,-+-i = (in -+- i)a:P,|— /iP„i.

Or cette relation est identique à celle qui lie trois polynômes de Legendre consécutifs ( n° 88), et Ton a P© = Xq, Pi = X|, Pj = Xj. On a donc P^ = X», quel que soit n, et la formule (3i) devient

(3a) = I -{- Xi^ -4- Xig«-4-. ..-»- Xfl:s"-4-...,

yi — ^xz -h ;;'

Xn étant le /i'^"* polynôme de Legendre On verra plus tard dans quel intervalle cette formule est applicable.