II. — SERIES ENTIERES A PLUSIEURS VARIABLES

185. Propriétés générales. — Les propriétés des séries entières à une seule variable s^étendent sans difficulté aux séries entières à plusieurs variables indépendantes. Considérons d'abord une série double ^amn^^y"i ^^ ^^^ nombres m et /i varient de o à + oo, et où les coefficients Umn ont des signes quelconques. Si, pour un système de valeurs x=Xo, y=yo^ l^ valeur absolue d^un ternie quelconque de cette série est inférieure à un nombre fixe, la série est absolument convergente pour tout système de valeurs de x et de y, tel que Von ait \x\<^\xq\, \y\<. |jKo|-

Supposons, en eflet, que l'on ait, quels que soient les in-

dices m ei n,

lamnarï'^SKM ou \a„n\<

^o|'"b'oi"'

la valeur absolue du terme général de la série double ^am„x"*y" est plus petite que le terme correspondant de la série double

> série qui esl convergente pourvu que Ton ait

|^|<|^o|i ly|<^|yo| et a pour somme

comme on le voit en faisant d'abord la somme des termes renfermés dans une même colonne et ajoutant ensuite les diverses sommes obtenues.

Désignons par r et p deux nombres positifs tels que la série double S I a^/i I ''"' p" soit convergente, et soit R le rectangle formé par les quatre droites x = r^ :r = — r, jk = p» .>' == — p- Pour tout point {x^ y) pris à l'intérieur ou sur un des côtés de ce rectangle, la série à double entrée

(33) Y(x, y)='La^nX"'y^

a tous ses termes plus petits en valeur absolue que ceux de la sérieS|rt,„„| r^'p"; elle est donc absolument et uniformément convergente à l'intérieur de R et définit par suite une fonction continue des deux variables x ely dans cette région du plan.

On démontre, comme dans le cas d'une seule variable, que les séries doubles obtenues en différentiant terme à terme un nombre quelconque de fois sont absolument et uniformément convergentes dans le rectangle formé par les droites x = r — e, x =^ — r -f- e, ^ = p — e', y = — p + s', e el e' étant deux nombres positifs arbitraires. Ces séries représentent les dérivées partielles des différents ordres de F(.r, )'); par exemple, la somme de la série

^mamn^"*~*y^ est égale à ^r-» car si Ton ordonne les deux séries

par rapport aux puissances croissantes de x^ les termes de la seconde série seront égaux respectivement aux dérivées des termes correspondants de la première. Ainsi la dérivée partielle -r est és:ale à la somme d'une série double dont le

terme constant est ezmn ^ • 2* • • '^^ i • ^* • • ^; les coefficients Omn