II. — SERIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

représentent donc, à des facteurs numériques près, les valeurs des dérivées partielles de la fonction F{x, y) pour :r = j^ = o, et la formule (33) peut encore s'écrire

ce qui montre, remarquons-le en passant, qu^une fonction de deux variables ne peut être développée en série entière que d*une seule façon. Si l'on groupe ensemble tous les termes de la série double du même degré en x et y, on obtient une série ordinaire que l'on peut écrire

O/j étant un polynôme homogène de degré n en x, y^ que l'on peut écrire, sous forme symbolique,

ce développement est donc identique à celui que fournirait la formule de Taylor (n** 51).

Soient (a:©, jKo) un point à l'intérieur du rectangle R, el

(.ro-H A, ^0+ ^0 un point voisin tel que l'on ait |xû| H- |/«| -< r, |j^o| + 1^1 < pj à l'intérieur du rectangle formé par les quatre droites

a: = a:o± [r— |:ro|], ^ =^o± [p — |^ol],

' la fonction F(:r, y^ peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances positives de j? — ^o et de y — y^^

()tn^n p

On le démontre en remplaçant, dans la série double

chaque terme par son développement suivant les puissances de h et de k et observant que la nouvelle série multiple est absolument convergente, sous les hypothèses qui ont été faites. En ordonnant

cette nouvelle série suivant les puissances de h et de Ar, on arrive précisément à la formule (36).

Le lecteur vérifiera aisément que les raisonnements et les théorèmes précédents s'étendent d'eux-mêmes aux séries entières à un nombre quelconque de variables.

186. Fonctions majorantes. — Étant donnée une série entière à n variables y( a:, ^, 2, . . .), nous dirons qu'une autre série à n variables ^{x^ y^ ^j •• •) est majorante pour la première, si un coefficient quelconque de ç (:r, y , ^, . . . ) est positif et supérieur à la valeur absolue du coefficient correspondant de/{x^ y^ z, . . .). Le raisonnement du n® 185 repose en réalité sur l'emploi d'une fonction majorante; si la série Jl\am„x'^y"\ est convergente pour X = r, y = p^ldi fonction

OÙ M est supérieur à tous les termes de la série l\amn'''^?"\i est une fonction majorante pour la série Hamn^'^y"* La fonction

est aussi une fonction majorante; car le coefficient de x^y^ dans <j^(^, y) est égal au coefficient de ce même terme dans

M ( •" ) ®^ P^^ conséquent est au moins égal à celui

de x^y*^ dans cp(a:, j^).

De même, étant donnée une série triple

si elle est absolument convergente pour x=:r^ y = r* , z=ir^, r, H, /•'' étant trois nombres positifs, elle admet pour fonction majorante une expression de la forme