II. — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

que l'on peut remplacer encore par Tune quelconque des suivantes M M

Lorsque /(j:,^, 5) ne renferme pas de terme constant, on peut prendre aussi pour fonction majorante l'une ou l'autre des précédentes, diminuée de M.

Le théort^me sur la substitution d'une série entière dans une autre série entière (n° 182) s'étend aux séries à plusieurs variables. Si dans une série entière convergente à p variables y^^ ^2» • • •) ypy on remplace ces variables par p déi^eloppements en séries entières à q variables Xt, X2, . • . , Xq, ne présentant pas de termes constants, et convergentes, le résultat de la substitution peut être mis sous forme d'une série entière ordonnée par rapport aux puissances de x^, x^, ..., Xqy pourvu que les valeurs absolues de ces variables soient infé^ rieures à certaines limites.

La démonstration étant la même, quel que soit le nombre des variables, nous nous bornerons, pour fixer les idées, au cas particulier suivant. Soit

(37) F(^,^) = 2a;„nJ"«-'*

une série entière convergente pourvu que l'on ait |y|<r, |z|</''; soient d'autre part

\ z = Cl a? -h Ci a:* -f- . . . -f- C/, J?" -f- . . . ,

deux séries, sans terme constant, convergentes tant que la valeur absolue de x ne dépasse pas p. Dans un terme quelconque de la série (87) remplaçons ^ et ;; par leurs développements en série (38); nous obtenons pour y"';;'' une nouvelle série entière en x^ et la série double (3^) est remplacée par une série à triple entrée dont tous les coefficients se déduisent des coefficients amny bn'i Cn pai* des additions et des multiplications seulement. Il s'agit de montrer que cette série à triple entrée est elle-même absolument convergente pourvu que la valeur absolue de x ne dépasse pas une certaine limite, et qu'on peut par conséquent l'ordonner suivant les puissances croissantes de la variable. Remarquons,

pour cela, qu'on peut prendre pour fonction majorante de /{y, z) la fonction

^^ -=zmUY(ay^

et pour fonction majorante des deux séries (38) une expression de la forme

«■» —.-"'Ix^'

M etN étant deux nombres positifs. Si dans la série double (Sg) on remplace maintenant^ et z par le développement (4o) et qu'on développe chacun des produits j^'"^'» suivant les puissances de jc, la série à triple entrée obtenue a tous ses coeflicients réels positifs et supérieurs aux valeurs absolues des coefficients correspondants de la série à triple entrée déjà obtenue. Il suffira donc de démontrer que cette nouvelle série est convergente, quand on donne à x une valeur positive assez petite. Or, si Ton ajoute les termes provenant du développement d'un même terme de la série (Sg), on retrouve la série à double entrée dont le terme général est

y \ m-hfi '

c'est précisément, au facteur M près, le terme général de la série obtenue en multipliant terme à terme les deux séries

et ces deux séries sont convergentes pourvu que Ton ait à la fois

il suffira donc que la valeur absolue de x soit inférieure au plus