COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

187. Fonction implicite d'une variable. — On a déjà établi (p. 4o et suiv.) l'existence des fonctions implicites, sous certaines conditions de continuité. Lorsque les premiers membres des équations considérées sont développables en séries entières, on arrive à des résultats plus précis, que nous allons maintenant exposer.

Soit ¥{x,y) = o une équation oit le premier membre peut être développé en série convergente^ ordonnée suivant les puissances croissantes de x — ^0, y — jKo? cette série ne présentant pas de terme constant y et le coefficient de y — y^ n étant pas nul. Cette équation admet une racine, et une seule, qui tend vers yo lorsque x tend vers Xq, et cette racine peut être développée en série entière ordonnée suivant les puissances de X — Xq.

Afin de simplifier les calculs, supposons Xo=yo=^o^ ce qui revient à déplacer l'origine. En isolant dans un membre le terme du premier degré en y, on peut écrire l'équation proposée

(40 y =/(-^» /) = aiQX -+- atox^ -h aiixy ^ aoiy^-h . . . ,

les termes non écrits étant d'un degré supérieur au second. Nous allons d'abord montrer qu'on peut satisfaire formellement à l'équation (4i) en remplaçant^ par une série

(i%) j^ = Ciar-h Cja7*H-. . .-I- C/^ar^-f-. . .,

et en opérant sur le second membre comme si cette série était convergente. On trouve, en effet, en identifiant les deux membres, après la substitution effectuée, les conditions

Ci=aioj c, = ajo H- au Cl H- «01 ^î>

d'une manière générale, Cn s'exprime au moyen des coefficients a/A» où « -t- Ar^/i, et des coefficients précédents C|, C2, • . . , Cfi-î p^r des additions et des multiplications seulement, de sorte que nous pouvons écrire

(43) Crt= Prt(aio, ajo, «11, ..., ao«),

P/i étant un polynôme dont tous les coefficients sont des nombres entiers positifs. La légitimité des opérations précédentes sera établie, si l'on démontre que la série (4^) ainsi obtenue est convergente pour des valeurs de x suffisamment petites. On se sert pour cela d'un artifice très général, dont la première idée est due à Cauchy, et qui repose sur l'emploi des fonctions majorantes. Soit

une fonction majorante pour /(x^y), où Ton a 600= ^oi = o» et où bmn est positif et au moins égal à |am/il; si l'on considère l'équation auxiliaire

(4iy Y = cp(r, Y)=2 6;,,«a"«Y«,

et que l'on cherche, comme plus haut, à satisfaire à cette équation en prenant pour Y une série entière en x,

(42)' Y = Cix-h Czcc^-h. . .4- G^ar^-f-. . .

on obtiendra de même pour les coefficients G|, Ca, ..•, les

valeurs

Cl = ^10, Cj= 6jo-f- 6iiCi-f- ^ojCf,

et en général

(43)' G» = Prt(6io, 610, .•.»^o/»)'

La comparaison des relations (4^) ^1(43/ nous montre aussitôt que l'on a |c„l << C^, puisque tous les coefficients du polynôme P^, sont positifs et que l'on a \amn\~bmn' La série (42) sera donc