III. — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES

convergente si la série (4^)' est elle-même convergente. Or nous pouvons prendre pour la fonction majorante <p(^, Y) une expression de la forme '

M, r, p étant trois nombres positifs, et Téquation auxiliaire (40' devient, en chassant les dénominateurs,

\ï ^-— Tf H -Xi =o.

Cette équation admet une racine qui est nulle pour x = 0] cette racine a pour expression

ia quantité sous le radical peut s^écrîre

p« kl 4M(p-f-M) r . 2(p-f-M)W ' p« ^x;

en posant

et l'on a encore

■ -.:ir^[-(-iy(-^)1-

Cette racine Y peut donc être développée en série convergente dans l'intervalle ( — a, -ha); ce développement est forcément identique à celui que fournit la substitution directe, c'est-à-dire au développement (4^^)'- P^r suite, la série (4^) est a fortiori convergente dans l'intervalle ( — a, -H a)i niais ce n'est là qu'une limite inférieure de l'intervalle de convergence qui peut être beaucoup plus étendu.

D'après la façon même dont on a obtenu les coefficients c,,, il est évident que la somme y de la série (4^) satisfait à l'équa- G. 29

jSo CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOIIBTRIQUES.

lion (40' Écrivons cette équation F(^, y)-=.y — f{x^ y)z=io^ et soit j^ = P(^) la racine que nous venons d'obtenir. Si l'on pose, dansF(j:,^),^ = P(^) + z et qu'on ordonne le résultat de la substitution suivant les puissances de x et de Zy tous les termes doivent être divisibles par ^, puisque ce résultat doit être nul, quel que soit x^ quand on fait 2 = 0. On a donc identiquement

Q(2:, z) étant une série entière en x et 5, et si l'on remplace maintenant z par^ — P(^) dans Q(j:^, z)^ on arrive en définitive à l'identité

le terme constant de Qi doit être égal à l'unité, puisque le coefficient Aey doit être égal à un, et nous pouvons écrire

Cette décomposition de F(a?, j^) en un produit de deux facteurs est due à M. Weierstrass. Elle met en évidence la racine y = P(j^); elle montre de plus qu'il n'y a pas d'autre racine de ¥{x^y) = o s'annulant avec a:, puisque le second facteur ne tend pas vers zéro lorsque :r et^ tendent vers zéro.

Remarque. — La méthode précédente pour déterminer les coefficients c« est identique au fond à celle qui a été indiquée au n® 46. Mais on voit de plus que la série obtenue en prolongeant indéfiniment les opérations est convergente.

188. Théorème généraL — Considérons maintenant un système de/? relations entre/? -|- q variables

, ,., , ^i(3Cu Xi, ..., Xg\yx,yt, .,., yft)=o,

où les fonctions F,, F2, • • •, Fp sont nulles pour a:,=^A= o, et sont développables en séries entières dans le voisinage; nous sup-

posons de plus que le déterminant fonctionnel p/y" y*' ' y") n'est pas nul pour ces valeurs. Dans ces conditions^ les équa-