IIK — FONCTIONS IMPLICITES. COURBES ET SURFACES ANALYTIQUES
lions (43) admettent un système de solutions^ et un seul, de la forme
©I, <p2, . . . , cp^ étant des séries entières en X\ , X2, • . • , ^^, 5^wi s^ annulent pour a:, = x^ = . . . = ^^ = o .
Pour simplifier Récriture, bornons-nous au cas de deux équations en Ire deux fonctions u Ql v qI trois variables indépendantes jr, y^ s,
j Fi = aa -^ bv -t- ex -f- d^ -+- f 5 -h . . . = o, ( Fs= a'w -h fc't' -h c'a? -+- c^'j^ -f- c'^-h. . . = o.
Puisque le déterminant aV — bd n'est pas nul, par hypothèse, on peut remplacer les deux équations (4^) p^^ deux équations de ia forme
les seconds membres ne renfermant pas de termes constants, ni de termes du premier degré en u et (^. On démontre, de la même façon que plus haut, que Ton satisfait formellement à ces équations en prenant pour u ^\. v des séries entières en x^ y, z
(48) u = Zctu^^y^^^j V = ^c'iktx^yf^zf,
les coefficients ciki et c\f^i se déduisant des coefficients amnpqr el bmnpqr P^i* ^^s additions et des multiplications seulement. Pour établir la convergence de ces développements, il suffit encore de les comparer aux développements analogues obtenus en cherchant à satisfaire aux deux équations auxiliaires
U = V = r? TT. M ( I
'■ ; r- rrr W (
M, r et p étant des nombres positifs dont on a déjà expliqué la signification. Ces deux équations auxiliaires se réduisent à une équation unique du second degré
qui admet une racine nulle pour x =^y = ^ := o. Celte racine a pour expression
4(p-+-2M) 4(pH-2M)l/ x-^y-k-z
enposant« = r(p^jg)*.
Celte racine peut être développée en série entière convergente,
mm
tant que les valeurs absolues de x^y^ z ne dépassent pas --Les
séries (48) sont donc convergentes entre ces limites.
Soient Ux et v^ les solutions développables des équations (47)- Si l'on pose u=z U\-\- w', v = Vi-\^ \f' et qu'on substitue dans les équations (47)) puis qu'on ordonne suivant les puissances de x, y^ z, m', p', tous les termes devront contenir u' ou v' en facteur. Il s'ensuit qu'en revenant aux variables x^y, 5, u, p, les équations proposées peuvent s'écrire
,. y j (U—lll)/ -^{V-^Vl)0 =0,
fi ?î /*«? T* ^^^û*- aussi des séries entières en x^y^ Zj m, v>. Les solutions i^= {/|, vz=zÇi sont ainsi mises en évidence; mais on voit de plus qu'il n'y a pas d'autres solutions s'annulant pour X z=y := ^ = o. En effet, toute autre solution des équations (47)' doit annuler /ç, — ^f\\ ^^1 ^^ comparant les équations (4?) et (47)'» oiï voit que le terme constant dans y et ç)| est égal à l'unité, tandis qu'il est nul dans/i et cp. On ne peut donc pas satisfaire à l'équation /©i — cp/, = o en prenant pour u ^l v des fonctions qui s'annulent pour x =^y = 5 = 0.
